AP Calculus unidad 4: repaso de la derivada en contexto (AB y BC)

La unidad 4 de AP Calculus, aplicaciones de la derivada en contexto (Contextual Applications of Differentiation), es donde las derivadas empiezan a responder preguntas reales. ¿A qué velocidad se mueve una partícula? ¿A qué velocidad sube el nivel del agua? ¿Cuál es una buena estimación de \sqrt{4.1} sin calculadora? Las matemáticas son las mismas que en las unidades 2 y 3. La habilidad nueva es leer la situación y explicar la respuesta con unidades.

Qué cubre la unidad 4

College Board divide la unidad en estos temas. Cada fila enlaza a una lección donde puedes practicarlo con números nuevos cada vez.

Las ideas clave

Una derivada es una tasa con unidades. Si W(t) son los galones de agua de un depósito al cabo de t horas, entonces W'(3) = -12 significa "en t = 3 horas, la cantidad de agua disminuye a razón de 12 galones por hora". Da siempre el instante, la tasa, la dirección y las unidades.

El movimiento tiene su propio vocabulario. La velocidad es v(t) = x'(t) y la aceleración es a(t) = v'(t). La rapidez es |v(t)|. La partícula se mueve a la derecha cuando v > 0 y a la izquierda cuando v < 0. Acelera cuando v y a tienen el mismo signo.

Las razones de cambio relacionadas unen dos magnitudes que cambian. Haz un dibujo, escribe una ecuación que se cumpla en todo instante, deriva los dos lados respecto de t, y solo entonces sustituye los números. Sustituir demasiado pronto convierte una magnitud que cambia en una constante.

Una recta tangente es una buena estimación local. Cerca de x = a:

La regla de L'Hôpital resuelve límites indeterminados. Lee la página completa de la regla de L'Hôpital, y las guías de razones de cambio relacionadas y de aproximación lineal.

Preguntas de ejemplo

1. Movimiento. Una partícula se mueve por una recta con x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t. Entonces v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3) y a(t) = 6t - 12. En t = 1.5, v = -2.25 y a = -3. Las dos son negativas, así que la partícula se mueve a la izquierda y acelera.

2. Razones de cambio relacionadas. Una escalera de 10 ft (pies) está apoyada en una pared. El pie resbala alejándose a 1 ft/s. ¿A qué velocidad baja el extremo superior cuando el pie está a 6 ft de la pared? A partir de x^2 + y^2 = 100:

Cuando x = 6, y = 8, así que 12(1) + 16\frac{dy}{dt} = 0 y \frac{dy}{dt} = -\frac{3}{4} ft/s. El extremo superior baja a \frac{3}{4} ft/s.

3. Linealización. Con f(x) = \sqrt{x} en a = 4, f(4) = 2 y f'(4) = \frac{1}{4}, así que \sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{1}{4}(0.1) = 2.025. El valor real es aproximadamente 2.02485, así que la estimación es un poco alta, como predice la concavidad.

4. Regla de L'Hôpital, aplicada dos veces. El límite da \frac{0}{0} cada vez:

Cómo estudiar la unidad 4

• Escribe siempre frases de contexto. Practica convertir f'(a) = k en una frase completa con instante, tasa, dirección y unidades. Es un punto de la respuesta libre con el que puedes contar.
• Compara signos para saber si acelera. Haz una tabla de signos rápida de v y a en lugar de adivinar a partir de la gráfica de la posición.
• Deriva antes de sustituir. En las razones de cambio relacionadas, solo las magnitudes fijas pueden sustituirse antes de derivar.
• Comprueba la forma antes de L'Hôpital. Escribe "esto es \frac{0}{0}" antes de usar la regla, o el trabajo no obtiene puntos.
• Resuelve colecciones de ejercicios. Prueba los ejercicios de razones de cambio relacionadas, los ejercicios de aproximación lineal y los ejercicios de la regla de L'Hôpital, todos con soluciones completas.

Para ver el mapa completo del curso, consulta la guía de AP Calculus AB o la guía de AP Calculus BC.

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