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Derivadas de trigonométricas inversas

Derivada de arcsec x: fórmula, demostración y ejemplos

La derivada de arcsec x es 1/(|x|√(x² − 1)). De dónde sale el valor absoluto, demostración con arccos(1/x) y ejemplos con la regla de la cadena.

Derivadas de trigonométricas inversas Actualizado 2 min de lectura

De un vistazo

\frac{d}{dx}\,\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}
Derivada
\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}} para \lvert x\rvert > 1
Con la regla de la cadena
\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcsec} u = \dfrac{u'}{\lvert u\rvert\sqrt{u^2 - 1}}
Dominio de arcsec x
x \le -1 o x \ge 1
Recorrido de arcsec x
\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]
Derivada de arccsc
-\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}
En esta página
  1. Gráfica de arcsec x
  2. Demostración con arccos
  3. Versión con la regla de la cadena y ejemplos
  4. La derivada de arccsc
  5. Errores comunes

La derivada de \operatorname{arcsec} x es \dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}. Está definida para \lvert x\rvert > 1, los mismos valores que puede dar la secante.

\frac{d}{dx}\,\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}, \qquad \lvert x\rvert > 1

Para x > 1, que es donde están la mayoría de los ejercicios, es simplemente \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}.

Gráfica de arcsec x

Gráfica de y = arcsec x, dibujada como arccos(1/x)
Los dos trozos de la arcosecante suben. El trozo derecho empieza en (1, 0) y el izquierdo termina en (-1, \pi). Ambos se acercan a la recta y = \frac{\pi}{2}.

Las dos ramas suben de izquierda a derecha, así que la derivada es positiva en todas partes. Precisamente por eso la fórmula lleva \lvert x\rvert: sin el valor absoluto, la fórmula daría pendientes negativas para x < -1, lo que no coincide con el dibujo.

Demostración con arccos

Con el recorrido habitual de arcsec se cumple esta identidad:

\operatorname{arcsec} x = \arccos\frac{1}{x}

Deriva con la regla de la cadena y la derivada de arccos x:

\frac{d}{dx}\arccos\frac{1}{x} = -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{x^2\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}

Ahora simplifica la raíz: \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\lvert x\rvert}. Así

\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} x = \frac{\lvert x\rvert}{x^2\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}

usando x^2 = \lvert x\rvert^2. El valor absoluto aparece de forma natural a partir de \sqrt{x^2} = \lvert x\rvert.

Versión con la regla de la cadena y ejemplos

\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} u = \frac{u'}{\lvert u\rvert\sqrt{u^2 - 1}}

Ejemplo 1. \frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(x^2) = \frac{2x}{x^2\sqrt{x^4 - 1}} = \frac{2}{x\sqrt{x^4 - 1}} para \lvert x\rvert > 1. Aquí \lvert x^2\rvert = x^2, así que no queda ningún valor absoluto.

Ejemplo 2. Para x > 0, \frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(e^x) = \frac{e^x}{e^x\sqrt{e^{2x} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{e^{2x} - 1}}.

Ejemplo 3: pendiente en un punto. En x = 2, la pendiente de \operatorname{arcsec} x es \frac{1}{2\sqrt{3}} \approx 0.289. Como \operatorname{arcsec} 2 = \frac{\pi}{3}, la recta tangente es y = \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2\sqrt{3}}(x - 2).

La derivada de arccsc

Como \operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2}, las derivadas son opuestas:

\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc} x = -\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}

Errores comunes

  1. Quitar el valor absoluto y obtener después pendientes negativas para x < -1.
  2. Mezclar convenciones de distintos libros. Comprueba qué recorrido usa tu curso para arcsec antes de copiar una fórmula.
  3. Confundir \sec^{-1} x con \cos x. \sec^{-1} es la inversa de la secante, mientras que \frac{1}{\sec x} = \cos x.
  4. Usarla para -1 < x < 1. Ningún ángulo tiene una secante entre -1 y 1, así que ahí no existen ni arcsec ni su derivada.

La fórmula también da una integral: \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}} = \operatorname{arcsec}\lvert x\rvert + C. Para más, consulta los ejercicios de derivadas de trigonométricas inversas y las funciones trigonométricas recíprocas.

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Preguntas frecuentes

¿Cuál es la derivada de arcsec x?
La derivada de \operatorname{arcsec} x es \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}} para \lvert x\rvert > 1. Para x > 1 es simplemente \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}.

¿Por qué algunos libros escriben x√(x² − 1) sin valor absoluto?
Esos libros eligen otro recorrido para arcsec, \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right). Con esa elección la fórmula es \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}. Con el recorrido más habitual, [0, \pi], necesitas \lvert x\rvert.

¿Cuál es la derivada de arccsc x?
Es -\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}, la opuesta de la derivada de arcsec, porque \operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2}.

¿Cuál es la derivada de arcsec(2x)?
Por la regla de la cadena es \frac{2}{\lvert 2x\rvert\sqrt{4x^2 - 1}} = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{4x^2 - 1}}, válida para \lvert x\rvert > \frac{1}{2}.

Escrito por el equipo de PracticeCalculus

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