Derivada de arcsec x: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de arcsec x é 1/(|x|√(x² − 1)). Veja de onde vem o módulo, a demonstração via arccos(1/x) e exemplos com a regra da cadeia.
Derivadas das trigonométricas inversas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- \dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}} para \lvert x\rvert > 1
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}\operatorname{arcsec} u = \dfrac{u'}{\lvert u\rvert\sqrt{u^2 - 1}}
- Domínio de arcsec x
- x \le -1 ou x \ge 1
- Imagem de arcsec x
- \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]
- Derivada de arccossec
- -\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}
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A derivada de \operatorname{arcsec} x é \dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}. Ela está definida para \lvert x\rvert > 1, os mesmos valores que a secante pode produzir.
Para x > 1, onde está a maioria dos exercícios, isso é simplesmente \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}.
Gráfico de arcsec x
Os dois ramos sobem da esquerda para a direita, então a derivada é positiva em todo o domínio. É exatamente por isso que a fórmula tem \lvert x\rvert: sem o módulo, ela daria inclinações negativas para x < -1, o que não corresponde ao desenho.
Demonstração usando o arccos
A imagem usual do arcsec torna verdadeira esta identidade:
Derive com a regra da cadeia e a derivada de arccos x:
Agora simplifique a raiz: \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\lvert x\rvert}. Então
usando x^2 = \lvert x\rvert^2. O módulo aparece naturalmente de \sqrt{x^2} = \lvert x\rvert.
Versão com a regra da cadeia e exemplos
Exemplo 1. \frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(x^2) = \frac{2x}{x^2\sqrt{x^4 - 1}} = \frac{2}{x\sqrt{x^4 - 1}} para \lvert x\rvert > 1. Aqui \lvert x^2\rvert = x^2, então não sobra nenhum módulo.
Exemplo 2. Para x > 0, \frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(e^x) = \frac{e^x}{e^x\sqrt{e^{2x} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{e^{2x} - 1}}.
Exemplo 3: inclinação em um ponto. Em x = 2, a inclinação de \operatorname{arcsec} x é \frac{1}{2\sqrt{3}} \approx 0.289. Como \operatorname{arcsec} 2 = \frac{\pi}{3}, a reta tangente é y = \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2\sqrt{3}}(x - 2).
A derivada do arccossec
Como \operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2}, as derivadas são opostas:
Erros comuns
- Esquecer o módulo e acabar com inclinações negativas para x < -1.
- Misturar convenções de livros. Verifique qual imagem o seu curso usa para o arcsec antes de copiar uma fórmula.
- Confundir \sec^{-1} x com \cos x. \sec^{-1} é a inversa da secante, enquanto \frac{1}{\sec x} = \cos x.
- Usá-la para -1 < x < 1. Nenhum ângulo tem secante entre -1 e 1, então o arcsec e sua derivada não existem ali.
A fórmula também fornece uma integral: \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}} = \operatorname{arcsec}\lvert x\rvert + C. Para mais, veja os exercícios de derivadas de trigonométricas inversas e as funções trigonométricas recíprocas.
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