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Ableitungen der Arkusfunktionen

Ableitung von arcsec x: Formel, Beweis und Beispiele

Die Ableitung von arcsec x ist 1/(|x|√(x² − 1)). Woher der Betrag kommt, ein Beweis über arccos(1/x) und Beispiele zur Kettenregel.

Ableitungen der Arkusfunktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\frac{d}{dx}\,\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}
Ableitung
\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}} für \lvert x\rvert > 1
Mit Kettenregel
\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcsec} u = \dfrac{u'}{\lvert u\rvert\sqrt{u^2 - 1}}
Definitionsbereich von arcsec x
x \le -1 oder x \ge 1
Wertebereich von arcsec x
\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]
Ableitung von arccsc
-\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}
Auf dieser Seite
  1. Graph von arcsec x
  2. Beweis über arccos
  3. Mit der Kettenregel und Beispiele
  4. Die Ableitung von arccsc
  5. Typische Fehler

Die Ableitung von \operatorname{arcsec} x ist \dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}. Sie ist für \lvert x\rvert > 1 definiert, also genau für die Werte, die der Sekans annehmen kann.

\frac{d}{dx}\,\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}, \qquad \lvert x\rvert > 1

Für x > 1, wo die meisten Aufgaben spielen, ist das einfach \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}.

Graph von arcsec x

Graph von y = arcsec x, gezeichnet als arccos(1/x)
Beide Äste des Arkussekans steigen. Der rechte Ast beginnt bei (1, 0), der linke endet bei (-1, \pi). Beide nähern sich der Geraden y = \frac{\pi}{2}.

Beide Äste steigen von links nach rechts, also ist die Ableitung überall positiv. Genau deshalb steht \lvert x\rvert in der Formel: Ohne den Betrag würde die Formel für x < -1 negative Steigungen liefern, und das passt nicht zum Bild.

Beweis über arccos

Mit dem üblichen Wertebereich von arcsec gilt diese Identität:

\operatorname{arcsec} x = \arccos\frac{1}{x}

Leite mit der Kettenregel und der Ableitung von arccos x ab:

\frac{d}{dx}\arccos\frac{1}{x} = -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{x^2\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}

Vereinfache jetzt die Wurzel: \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\lvert x\rvert}. Also gilt

\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} x = \frac{\lvert x\rvert}{x^2\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}

mit x^2 = \lvert x\rvert^2. Der Betrag entsteht ganz natürlich aus \sqrt{x^2} = \lvert x\rvert.

Mit der Kettenregel und Beispiele

\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} u = \frac{u'}{\lvert u\rvert\sqrt{u^2 - 1}}

Beispiel 1. \frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(x^2) = \frac{2x}{x^2\sqrt{x^4 - 1}} = \frac{2}{x\sqrt{x^4 - 1}} für \lvert x\rvert > 1. Hier ist \lvert x^2\rvert = x^2, es bleibt also kein Betrag übrig.

Beispiel 2. Für x > 0 gilt \frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(e^x) = \frac{e^x}{e^x\sqrt{e^{2x} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{e^{2x} - 1}}.

Beispiel 3: Steigung an einer Stelle. Bei x = 2 ist die Steigung von \operatorname{arcsec} x gleich \frac{1}{2\sqrt{3}} \approx 0.289. Wegen \operatorname{arcsec} 2 = \frac{\pi}{3} lautet die Tangente y = \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2\sqrt{3}}(x - 2).

Die Ableitung von arccsc

Wegen \operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2} sind die Ableitungen entgegengesetzt gleich:

\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc} x = -\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}

Typische Fehler

  1. Den Betrag weglassen und dann für x < -1 negative Steigungen erhalten.
  2. Konventionen aus verschiedenen Lehrbüchern mischen. Prüfe, welchen Wertebereich dein Kurs für arcsec verwendet, bevor du eine Formel übernimmst.
  3. \sec^{-1} x mit \cos x verwechseln. \sec^{-1} ist die Umkehrfunktion des Sekans, während \frac{1}{\sec x} = \cos x gilt.
  4. Die Formel für -1 < x < 1 verwenden. Kein Winkel hat einen Sekans zwischen -1 und 1, also gibt es dort weder arcsec noch seine Ableitung.

Die Formel liefert auch ein Integral: \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}} = \operatorname{arcsec}\lvert x\rvert + C. Mehr dazu findest du bei den Aufgaben zu Ableitungen der Arkusfunktionen und auf der Seite zu den reziproken trigonometrischen Funktionen.

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Häufig gestellte Fragen

Was ist die Ableitung von arcsec x?
Die Ableitung von \operatorname{arcsec} x ist \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}} für \lvert x\rvert > 1. Für x > 1 ist das einfach \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}.

Warum schreiben manche Bücher x√(x² − 1) ohne Betrag?
Diese Bücher wählen einen anderen Wertebereich für arcsec, nämlich \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right). Damit lautet die Formel \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}. Mit dem üblicheren Wertebereich [0, \pi] brauchst du \lvert x\rvert.

Was ist die Ableitung von arccsc x?
Sie lautet -\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}, also das Negative der arcsec-Ableitung, weil \operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2} gilt.

Was ist die Ableitung von arcsec(2x)?
Mit der Kettenregel ist sie \frac{2}{\lvert 2x\rvert\sqrt{4x^2 - 1}} = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{4x^2 - 1}}, gültig für \lvert x\rvert > \frac{1}{2}.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

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