Derivada de sen x: fórmula, demonstração e exemplos

A derivada de \sin x é \cos x. Onde a onda do seno está subindo, o cosseno é positivo. Onde ela está descendo, o cosseno é negativo.

Gráfico de sen x e de sua derivada

Demonstração pela definição de limite

Use a fórmula do seno da soma, \sin(x + h) = \sin x\cos h + \cos x\sin h:

Dois limites fundamentais concluem a demonstração. Quando h \to 0, \frac{\sin h}{h} \to 1 (demonstrado pelo Teorema do Confronto) e \frac{\cos h - 1}{h} \to 0. Então

O limite \frac{\sin h}{h} \to 1 só vale com h em radianos. Esse é o verdadeiro motivo pelo qual o cálculo usa radianos.

A versão com a regra da cadeia: derivada de sen(u)

Mantenha a função de dentro, troque seno por cosseno e multiplique pela derivada da função de dentro. Veja a regra da cadeia.

Páginas completas: derivada de sen 2x e derivada de sen(x²).

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: um produto. Derive f(x) = x\sin x com a regra do produto:

Exemplo 2: uma potência do seno. \frac{d}{dx}\sin^3 x = 3\sin^2 x\cos x. A função de fora é o cubo, a de dentro é \sin x.

Exemplo 3: uma reta tangente. Em x = \frac{\pi}{3}, \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} e a inclinação é \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}:

Exemplo 4: derivadas de ordem superior. As derivadas de \sin x se repetem a cada quatro passos: \cos x, -\sin x, -\cos x e de novo \sin x. Então a 10ª derivada é igual à 2ª: -\sin x.

Erros comuns

1. Acrescentar um sinal de menos. \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, positivo. O menos pertence à derivada de cos x.
2. Mudar a função de dentro. \frac{d}{dx}\sin(3x) é 3\cos(3x), não 3\cos x nem \cos 3.
3. Confundir \sin^2 x com \sin(x^2). Suas derivadas são 2\sin x\cos x e 2x\cos(x^2).
4. Trabalhar em graus. Em graus aparece um fator extra \frac{\pi}{180}.

O caminho inverso está na página da integral de sen x. Para uma visão completa, leia derivadas das funções trigonométricas ou tente os exercícios de derivadas trigonométricas.