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Dérivées trigonométriques

Dérivée de sin x : formule, démonstration et exemples

La dérivée de sin x est cos x. Démonstration par la limite, version composée pour sin(u), courbe et exemples corrigés comme sin(3x) et x sin x.

Dérivées trigonométriques Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\frac{d}{dx}\,\sin x = \cos x
Dérivée
\cos x pour tout réel x
Forme composée
\dfrac{d}{dx}\sin u = \cos u \cdot u'
Dérivée seconde
-\sin x
Unités
x doit être en radians
Version intégrale
\int \sin x\,dx = -\cos x + C
Sur cette page
  1. Courbe de sin x et de sa dérivée
  2. Démonstration par la définition avec une limite
  3. La version composée : dérivée de sin(u)
  4. Exemples corrigés
  5. Erreurs fréquentes

La dérivée de \sin x est \cos x. Là où la sinusoïde monte, le cosinus est positif. Là où elle descend, le cosinus est négatif.

\frac{d}{dx}\,\sin x = \cos x

Courbe de sin x et de sa dérivée

Courbe de y = sin x et de sa dérivée y = cos x
Aux sommets et aux creux de \sin x, la pente vaut 0 et \cos x coupe l'axe. En x = 0, la pente de \sin x vaut 1 = \cos 0.

Démonstration par la définition avec une limite

On utilise la formule d'addition \sin(x + h) = \sin x\cos h + \cos x\sin h :

\frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \sin x\cdot\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\cdot\frac{\sin h}{h}

Deux limites classiques permettent de conclure. Quand h \to 0, \frac{\sin h}{h} \to 1 (démontré avec le théorème des gendarmes) et \frac{\cos h - 1}{h} \to 0. Donc

\frac{d}{dx}\sin x = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x

La limite \frac{\sin h}{h} \to 1 n'est vraie qu'avec h en radians. C'est la vraie raison pour laquelle l'analyse utilise les radians.

La version composée : dérivée de sin(u)

\frac{d}{dx}\,\sin u = \cos u \cdot u'

On garde l'intérieur, on remplace sinus par cosinus, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur. Voir la règle de dérivation en chaîne.

Fonction Intérieur u Dérivée
\sin(3x) 3x 3\cos(3x)
\sin(2x) 2x 2\cos(2x)
\sin(x^2) x^2 2x\cos(x^2)
\sin(e^x) e^x e^x\cos(e^x)
\sin\left(\frac{x}{2}\right) \frac{x}{2} \frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right)

Pages complètes : dérivée de sin 2x et dérivée de sin(x²).

Exemples corrigés

Exemple 1 : un produit. Dérivons f(x) = x\sin x avec la règle du produit :

f'(x) = \sin x + x\cos x

Exemple 2 : une puissance du sinus. \frac{d}{dx}\sin^3 x = 3\sin^2 x\cos x. La fonction extérieure est le cube, la fonction intérieure est \sin x.

Exemple 3 : une tangente. En x = \frac{\pi}{3}, \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} et la pente vaut \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} :

y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)

Exemple 4 : dérivées successives. Les dérivées de \sin x reviennent tous les quatre pas : \cos x, -\sin x, -\cos x, puis de nouveau \sin x. La dérivée dixième est donc la même que la dérivée seconde : -\sin x.

Erreurs fréquentes

  1. Ajouter un signe moins. \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, positif. Le moins appartient à la dérivée de cos x.
  2. Modifier l'intérieur. \frac{d}{dx}\sin(3x) vaut 3\cos(3x), et non 3\cos x ou \cos 3.
  3. Confondre \sin^2 x et \sin(x^2). Leurs dérivées sont 2\sin x\cos x et 2x\cos(x^2).
  4. Travailler en degrés. En degrés, un facteur supplémentaire \frac{\pi}{180} apparaît.

Le sens inverse est traité sur la page intégrale de sin x. Pour une vue d'ensemble, lisez dérivées des fonctions trigonométriques ou faites les exercices de dérivées trigonométriques.

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Questions fréquentes

Quelle est la dérivée de sin x ?
La dérivée de \sin x est \cos x.

Quelle est la dérivée de sin(3x) ?
Par la règle de dérivation en chaîne, \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x).

Quelle est la dérivée de sin x en degrés ?
Si x est en degrés, \frac{d}{dx}\sin x^\circ = \frac{\pi}{180}\cos x^\circ. La réponse simple \cos x ne marche qu'en radians, et c'est pour cela que l'analyse utilise les radians.

La dérivée de sin x est-elle -cos x ?
Non. \frac{d}{dx}\sin x = \cos x. Le signe moins appartient à l'intégrale, \int \sin x\,dx = -\cos x + C, et à la dérivée du cosinus, \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x.

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