Derivada de x²: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de x² es 2x. Demostración con la definición de límite, la regla de la cadena para u², una gráfica, rectas tangentes y ejemplos como (3x + 1)².
Potencias, raíces y polinomios Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- 2x para todo x real
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}\,u^2 = 2u\,u'
- Segunda derivada
- \dfrac{d^2}{dx^2}\,x^2 = 2
- Pendiente en x = 0
- 0, el fondo de la parábola
- Versión para integrales
- \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C
En esta página
La derivada de x^2 es 2x. Suele ser la primera derivada que los estudiantes calculan a mano, y muestra toda la idea de derivada en una sola línea de álgebra.
Gráfica de x² y de su derivada
La derivada crece a medida que x crece, así que la parábola se vuelve más pronunciada cuanto más te alejas del vértice. Así es como se ve una curva cóncava hacia arriba.
Demostración con la definición de límite
Parte de
Desarrolla el cuadrado: (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2. Los términos x^2 se cancelan:
También puedes obtenerla con la regla de la potencia, o con la regla del producto aplicada a x \cdot x: 1\cdot x + x \cdot 1 = 2x.
La versión con la regla de la cadena: derivada de u²
Cuando lo que se eleva al cuadrado no es x, usa la regla de la cadena:
| Función | Interior u | Derivada 2u\,u' |
|---|---|---|
| (3x + 1)^2 | 3x + 1 | 6(3x + 1) |
| (x^2 + 5)^2 | x^2 + 5 | 4x(x^2 + 5) |
| \sin^2 x | \sin x | 2\sin x\cos x |
| (\ln x)^2 | \ln x | \frac{2\ln x}{x} |
La tercera fila se resuelve por completo en la página de la derivada de sen²x.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: un polinomio. Deriva f(x) = 4x^2 - 3x + 8:
Ejemplo 2: una recta tangente. Halla la tangente a y = x^2 en x = 3. El punto es (3, 9) y la pendiente es 2(3) = 6:
Ejemplo 3: ¿dónde vale 5 la pendiente? Resuelve 2x = 5 y obtienes x = \frac{5}{2}. El punto de la parábola es \left(\frac{5}{2}, \frac{25}{4}\right).
Ejemplo 4: segunda derivada. \frac{d}{dx}(2x) = 2, así que \frac{d^2}{dx^2}x^2 = 2. Una segunda derivada constante y positiva significa que la parábola se curva hacia arriba en todas partes.
Errores comunes
- Escribir 2x^2. El exponente tiene que bajar en uno: 2x^1 = 2x.
- Confundir x^2 con 2^x. Se parecen, pero 2^x es una exponencial. Su derivada es 2^x \ln 2; consulta la derivada de 2ˣ.
- Olvidar u'. \frac{d}{dx}(5x - 2)^2 = 10(5x - 2), no 2(5x - 2).
- Elevar la derivada al cuadrado. \frac{d}{dx}(x^2) no es \left(\frac{d}{dx}x\right)^2 = 1.
En sentido inverso, \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C está en la página de la integral de x². Practica más con los ejercicios de la regla de la potencia.
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