AP Calc Einheit 6: Integration und Akkumulation (AB und BC)
Wiederholung zu AP Calculus Einheit 6 für AB und BC: Riemann-Summen, Hauptsatz, Integralfunktionen, Substitutionsregel und die BC-Techniken, mit Übungen.
AP Calculus Einheiten Aktualisiert 4 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Gewichtung AB
- 15–20%
- Gewichtung BC
- 15–20%
- Kernideen
- Riemann-Summen, bestimmte Integrale, der Hauptsatz, Stammfunktionen
- Nur in BC
- Partielle Integration, Partialbruchzerlegung mit Linearfaktoren, uneigentliche Integrale
- Kommt vor
- Einheit 7, Differentialgleichungen, und Einheit 8, Anwendungen der Integration
- Hier üben
- Analysis 1: Integrale
Auf dieser Seite
AP Calculus Einheit 6, Integration und Akkumulation von Änderungen (Integration and Accumulation of Change), ist der Beginn der zweiten Hälfte der Analysis. Sie macht aus Änderungsraten Bestände: Weißt du, wie schnell sich etwas ändert, sagt dir ein Integral, wie stark es sich insgesamt geändert hat. Sie ist eine der beiden größten Einheiten der Prüfung und speist die meisten Freitextaufgaben.
| AP Calculus AB | AP Calculus BC | |
|---|---|---|
| Gewichtung in der Prüfung | 15–20% | 15–20% |
| Zusätzliche Themen | keine | partielle Integration, Partialbruchzerlegung, uneigentliche Integrale |
Was Einheit 6 umfasst
Das College Board teilt die Einheit in diese Themen. Jede Zeile verlinkt eine Lektion, in der du das Thema jedes Mal mit neuen Zahlen üben kannst.
| Thema | Was du lernst | Üben |
|---|---|---|
| Akkumulation von Änderungen | Die Fläche unter einem Ratengraphen ist die Änderung des Bestands | Orientierte Fläche |
| Riemann-Summen | Linke, rechte und Mittelpunktsummen aus Termen und Tabellen | Riemann-Summen |
| Trapezsummen | Linke und rechte Summe mitteln | Trapezsummen |
| Bestimmte Integrale | Der Grenzwert von Riemann-Summen und Eigenschaften von Integralen | Orientierte Fläche |
| Hauptsatz, Teil 1 | Ableitungen von Integralfunktionen | Integralfunktionen |
| Hauptsatz, Teil 2 | \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) berechnen | Der Hauptsatz |
| Stammfunktionen | Umgekehrte Potenzregel, Integrale von Winkel- und Exponentialfunktionen | Umgekehrte Potenzregel |
| Substitution | Substitutionsregel für unbestimmte und bestimmte Integrale | Substitutionsregel |
| Partielle Integration (BC) | \int u\,dv = uv - \int v\,du | Partielle Integration |
| Partialbruchzerlegung (BC) | Gebrochenrationale Funktionen mit Linearfaktoren zerlegen | Partialbruchzerlegung |
| Uneigentliche Integrale (BC) | Integrale bis ins Unendliche und über senkrechte Asymptoten | Unendliche Integrationsgrenzen |
Die wichtigsten Ideen
Riemann-Summen schätzen Flächen. Teile [a, b] in Stücke, multipliziere jede Breite mit einer Höhe und addiere. Bei einer steigenden Funktion ist die linke Summe zu klein und die rechte zu groß. Eine Trapezsumme mittelt die beiden.
Das bestimmte Integral ist die Gesamtänderung. Ist r(t) eine Änderungsrate, dann ist \int_a^b r(t)\,dt die Gesamtänderung von t = a bis t = b. Diese Idee steckt hinter jeder Freitextaufgabe mit Zufluss und Abfluss.
Der Hauptsatz verbindet alles. Teil 1 besagt, dass eine Integralfunktion eine Stammfunktion ist:
Teil 2 besagt, dass du ein bestimmtes Integral mit jeder beliebigen Stammfunktion F berechnen kannst:
Mehr dazu beim Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Teil 1 und Teil 2.
Beispielaufgaben
1. Eine Tabelle (ohne Taschenrechner). Die Durchflussrate r(t) in Litern pro Minute wird bei t = 0, 2, 5 gemessen, mit den Werten 4, 6, 9. Eine Trapezsumme schätzt die gesamte Durchflussmenge:
Beachte die ungleichen Abstände. AP-Tabellen haben sie oft, also nimm nie gleiche Abstände an.
2. Eine Integralfunktion. Ist g(x) = \int_1^x \sqrt{t^3 + 1}\,dt, dann gilt nach dem Hauptsatz g'(2) = \sqrt{8 + 1} = 3. Die Stammfunktion brauchst du gar nicht.
3. Substitution. Berechne \int_0^1 2x(x^2 + 1)^3\,dx mit u = x^2 + 1, also du = 2x\,dx, und die Grenzen werden zu 1 und 2:
4. BC: partielle Integration. Mit u = x und dv = \cos x\,dx:
So lernst du für Einheit 6
- Das Integral in Worten lesen lernen. „Die Gesamtzahl der Liter, die in den ersten 5 Minuten hineingeflossen sind“ ist \int_0^5 r(t)\,dt. Freitextaufgaben verlangen, dass du die Bedeutung eines Integrals im Sachzusammenhang mit Einheiten erklärst.
- Tabellen mit ungleichen Abständen üben. Sie sind in der Prüfung der häufigste Aufbau für Riemann- und Trapezsummen.
- Integralfunktionen schnell ableiten. Fragen zu g(x) = \int_a^x f(t)\,dt kommen im Stil von Einheit 5 wieder: wo g steigt, Extrema hat oder linksgekrümmt ist.
- Die Stammfunktionen trainieren. Nutze die Übersicht der Integrale und die Formelsammlung, bis die grundlegenden automatisch sitzen.
- Aufgabensammlungen durcharbeiten. Probiere die Aufgaben zu Riemann-Summen und die Aufgaben zur Substitutionsregel, jeweils mit vollständigen Lösungen.
Den Überblick über den ganzen Kurs findest du im Leitfaden zu AP Calculus AB oder im Leitfaden zu AP Calculus BC.
AP und Advanced Placement sind eingetragene Marken des College Board, das nicht mit PracticeCalculus verbunden ist und diesen Leitfaden nicht unterstützt. Die Namen und Gewichtungen der Einheiten stammen aus dem Kursrahmen (Course Framework) des College Board; prüfe dort, ob sich etwas geändert hat.
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