TU Darmstadt Analysis II (04-10-0002): Themen und Übungen

Analysis II (04-10-0002) ist an der Technischen Universität Darmstadt das zweite Analysis-Modul im Bachelor Mathematik. Wie Analysis I wird es auch im Lehramt an Gymnasien und im Bachelor Physik verwendet und ist laut Modulhandbuch für das erste Studienjahr empfohlen. Das Modul bringt 9 Creditpoints, mit Vorlesung und Übung (6 SWS) und einem Tutorium (1 SWS). Nach der Analysis einer Variablen geht es nun um Funktionenfolgen, metrische Räume und vor allem um Funktionen mehrerer Variablen. Diese Lernhilfe ordnet die Themen den passenden Übungen auf PracticeCalculus zu.

Was Analysis II in Darmstadt abdeckt

Das Modulhandbuch nennt als Lerninhalt:

• Konvergenz von Funktionenfolgen und Potenzreihen
• Topologie metrischer Räume und Normen auf dem \mathbb{R}^n
• Differentialrechnung mehrerer Variablen, partielle Ableitungen, Ableitungsregeln und Gradient
• höhere Ableitungen und den Satz von Taylor in mehreren Variablen
• lokale Extrema
• lokale Umkehrbarkeit und implizite Funktionen
• mehrdimensionale Integration mit Rechentechniken
• Kurven im \mathbb{R}^n und die Integralsätze von Gauß und Stokes

Als Qualifikationsziele beschreibt das Handbuch, dass die Studierenden Funktionen mehrerer Variablen mit Stetigkeit, totaler und partieller Differenzierbarkeit und Integration analysieren und geometrische Zusammenhänge mit topologischen Grundkonzepten untersuchen können.

Im amerikanischen System verteilt sich der Stoff auf das Ende von Calculus 2 (Potenzreihen) und fast den gesamten Inhalt von Calculus 3. Metrische Räume, lokale Umkehrbarkeit und der allgemeine Satz über implizite Funktionen gehen deutlich darüber hinaus.

Themenübersicht Analysis II

Für gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen, metrische Räume, Normen, lokale Umkehrbarkeit und den allgemeinen Satz über implizite Funktionen gibt es bei PracticeCalculus noch keine eigenen Lektionen. Diese Themen erarbeitest du am besten direkt mit Skript und Hausübungen.

Die Analysis-Module an der TU Darmstadt

Beispielaufgaben auf dem Niveau von Analysis II

1. Konvergenzradius. Für \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{n^n} x^n liefert das Quotientenkriterium

also ist der Konvergenzradius R = e.

2. Lokale Extrema. Für f(x,y) = x^3 - 3x + y^2 ist \nabla f = (3x^2 - 3,\; 2y) mit den kritischen Punkten (1,0) und (-1,0). Die Hessematrix

ist in (1,0) positiv definit (lokales Minimum) und in (-1,0) indefinit (Sattelpunkt).

3. Integral über einen Kreis. Mit Polarkoordinaten gilt für die Kreisscheibe K vom Radius 2

So läuft Analysis II in Darmstadt gut

• Analysis I festigen. Ableitungsregeln, Taylor und Integrationstechniken aus einer Variablen werden ständig gebraucht. Wiederhole sie vor Semesterbeginn.
• Geometrisch denken. Skizziere Höhenlinien, Gradienten und Integrationsbereiche. Viele Aufgaben werden mit einer guten Skizze deutlich einfacher.
• Rechnen trainieren. Partielle Ableitungen, Hessematrizen und Mehrfachintegrale müssen in der Klausur schnell sitzen. Kurze Einheiten in Calculus 3 helfen dabei.
• Hausübungen nicht schleifen lassen. Die Studienleistung ist Zulassungsvoraussetzung zur Fachprüfung.
• Prüfung planen. Die Anleitung zur Prüfungsvorbereitung hilft, die letzten Wochen sinnvoll einzuteilen.

Tipp: Lokale Extrema in mehreren Variablen sind dieselbe Idee wie in einer Variablen: erst \nabla f = 0, dann die zweite Ableitung prüfen. Neu ist nur, dass aus f'' die Hessematrix und aus dem Vorzeichen die Definitheit wird.