TU Darmstadt Analysis I (04-10-0001): Themen und Übungen

Analysis I (04-10-0001) ist an der Technischen Universität Darmstadt das erste Analysis-Modul im Bachelor Mathematik. Laut Modulhandbuch des Fachbereichs Mathematik wird es auch im Lehramt an Gymnasien und im Bachelor Physik verwendet und ist für das erste Studienjahr empfohlen. Das Modul bringt 9 Creditpoints und besteht aus Vorlesung mit Übung (6 SWS) und einem Tutorium (1 SWS). Diese Lernhilfe ordnet die Themen aus dem Modulhandbuch den passenden Übungen auf PracticeCalculus zu.

Was Analysis I in Darmstadt abdeckt

Das Modulhandbuch nennt als Lerninhalt:

• reelle und komplexe Zahlen, Vollständigkeit
• Konvergenz von Folgen und Reihen
• Topologie der reellen Zahlen und Kompaktheit
• Funktionsbegriff, stetige Funktionen und elementare Funktionen
• differenzierbare Funktionen, Mittelwertsatz und Satz von Taylor
• Integralrechnung, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und Integrationstechniken

Als Qualifikationsziele beschreibt das Handbuch, dass die Studierenden Funktionen einer reellen Variablen mit Grundbegriffen wie Grenzwert, Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Vollständigkeit analysieren und mathematische Schlussfolgerungen mit verschiedenen Beweismethoden herleiten können.

Im amerikanischen System entspricht das dem Stoff von Calculus 1 mit Teilen von Calculus 2 (Reihen, Taylor, Integrationstechniken), allerdings auf dem Niveau einer beweisorientierten Analysis. Die Rechentechniken bleiben trotzdem wichtig, denn in Hausübungen und Klausur musst du Grenzwerte, Ableitungen und Integrale sicher berechnen.

Themenübersicht Analysis I

Für die Konstruktion der reellen Zahlen, Vollständigkeit, komplexe Zahlen und die Topologie der reellen Zahlen gibt es bei PracticeCalculus noch keine eigenen Lektionen. Die Lektion zu absoluten Extrema zeigt nur die Anwendung des Extremwertsatzes, nicht den Kompaktheitsbegriff selbst.

Die Analysis-Module an der TU Darmstadt

In den Ingenieurstudiengängen wird statt Analysis I meist eine eigene Mathematik-Vorlesung gehört, etwa Mathematik I (für ET), die Analysis einer Variablen und lineare Algebra in einem Modul verbindet.

Beispielaufgaben auf dem Niveau von Analysis I

1. Grenzwert einer Folge. Durch Erweitern mit dem konjugierten Ausdruck folgt

2. Satz von Taylor. Das Taylorpolynom zweiten Grades von f(x) = \ln(1+x) um 0 ist

3. Mittelwertsatz. Für x > 0 gibt es ein \xi \in (0, x) mit \ln(1+x) = \frac{x}{1+\xi}. Daraus folgt die Abschätzung

So läuft Analysis I in Darmstadt gut

• Hausübungen konsequent bearbeiten. Ohne bestandene Studienleistung gibt es keine Zulassung zur Fachprüfung. Kurze tägliche Einheiten auf PracticeCalculus machen die Rechentechniken sicher, damit mehr Zeit für Beweise bleibt.
• Tutorium nutzen. Das Modul enthält ein eigenes Tutorium. Bringe dorthin konkrete Fragen zu den Hausübungen mit.
• Beweismethoden üben. Induktion, Widerspruch und Abschätzungen mit \varepsilon tauchen in jeder Woche auf. Schreibe Beweise vollständig auf, auch wenn die Idee schon klar ist.
• Formeln sammeln. Unser Formelblatt eignet sich als Grundlage für die eigene Übersicht.
• Typische Fehler vermeiden. Die Liste der häufigsten Fehler zeigt, wo in Klausuren die meisten Punkte verloren gehen.

Tipp: Der Mittelwertsatz steckt hinter vielen Ungleichungen in Analysis I, wie Beispiel 3 zeigt. Wenn eine Abschätzung zwischen f(x) und f(y) gefragt ist, lohnt sich fast immer der Blick auf f'.