Cálculo Vectorial Udelar (FIng): temario, guía y práctica

Cálculo Vectorial es el tercer curso de cálculo de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de la República. Según el programa oficial, tiene 10 créditos, con 3 horas semanales de teórico, 3 de práctico y unas 3 de trabajo personal. Su objetivo es dominar el cálculo diferencial e integral sobre curvas y superficies y adquirir herramientas para estudiar campos vectoriales, con aplicaciones a la física como las leyes de Faraday y Ampère. Esta guía relaciona cada tema con lecciones de práctica para que estudies resolviendo ejercicios.

Qué cubre Cálculo Vectorial

El temario oficial tiene trece temas, que se pueden agrupar en tres bloques:

Cálculo diferencial en varias variables

1. Repaso de continuidad y diferenciabilidad de funciones de \mathbb{R}^n en \mathbb{R}^m.
2. Extremos absolutos y relativos: puntos estacionarios, matriz hessiana, clasificación de formas cuadráticas.
3. Teoremas de la función inversa y de la función implícita.
4. Extremos condicionados: multiplicadores de Lagrange con una y con varias condiciones.

Curvas e integrales de línea

5. Curvas paramétricas: curvas regulares, simples y cerradas, versor tangente y parametrización por longitud de arco.
6. Integrales de línea de campos escalares y vectoriales.
7. Campos gradientes: potenciales escalares, regla de Barrow para gradientes y campos conservativos.
8. Teorema de Green: cálculo de áreas, versión generalizada e invariancia por homotopías.

Superficies y teoremas integrales

9. Superficies paramétricas: superficies regulares, vectores tangentes y área.
10. Integrales de superficie de campos escalares y vectoriales.
11. Teorema de Stokes, con las leyes de Faraday y Ampère.
12. Rotacional y divergencia: campos irrotacionales, dominios simplemente conexos, campos solenoidales y potencial vector.
13. Teorema de la divergencia de Gauss y cálculo de volúmenes.

En un currículo estándar, esto corresponde a la parte final de un Cálculo 3, con más peso teórico en los teoremas de la función inversa e implícita.

Mapa de temas de Cálculo Vectorial

Los cursos de cálculo en Facultad de Ingeniería

Si te falta base en diferenciabilidad o integrales múltiples, repasa la guía de Cálculo en Varias Variables.

Ejemplos de problemas al nivel del curso

1. Lagrange. Para maximizar f(x, y) = xy sujeto a x + y = 10, la condición \nabla f = \lambda \nabla g da y = \lambda y x = \lambda, así que x = y = 5 y el máximo es 25.

2. Campo conservativo. El campo \mathbf{F} = (y, x) es el gradiente de f(x, y) = xy. Por la regla de Barrow para gradientes, a lo largo de cualquier curva de (0, 0) a (2, 3):

3. Teorema de la divergencia. Para \mathbf{F} = (x, y, z) y la esfera de radio R, \operatorname{div} \mathbf{F} = 3, así que el flujo saliente vale

Cómo te puede ir bien en Cálculo Vectorial

• Parametriza con soltura. Casi todos los ejercicios empiezan parametrizando una curva o una superficie.
• Antes de integrar, mira si el campo es un gradiente. Muchas integrales de línea se resuelven con un potencial en una línea.
• Aprende las hipótesis de los teoremas. El programa insiste en dominios simplemente conexos y en curvas cerradas simples; los parciales suelen preguntar por qué un teorema no se puede aplicar.
• Cuida la orientación. El signo de una normal o el sentido de una curva cambian el resultado.
• Practica seguido. Usa los ejercicios de práctica y la guía sobre cómo preparar un examen de cálculo.

Consejo: Green, Stokes y Gauss son versiones del mismo principio: integrar una derivada sobre una región equivale a integrar sobre su borde. Ese enfoque ayuda a elegir qué teorema usar.