Cálculo en Varias Variables Udelar (FIng): temario y práctica

Cálculo Diferencial e Integral en Varias Variables (CDIVV) es el segundo curso de cálculo de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de la República. Según el programa oficial, tiene 13 créditos, con 4,5 horas semanales de teórico y 3 de práctico, y lo dicta el Instituto de Matemática y Estadística "Rafael Laguardia". Su objetivo es consolidar el cálculo en una variable y manejar los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral en varias variables reales. Esta guía relaciona cada tema con lecciones de práctica para que prepares los dos parciales resolviendo ejercicios.

Qué cubre CDIVV

El temario oficial tiene nueve temas:

1. Número complejo: forma binómica y trigonométrica, módulo y argumento, conjugación, raíz n-ésima y exponencial compleja.
2. Ecuaciones diferenciales: de variables separables, lineales de primer orden y lineales de segundo orden con coeficientes constantes.
3. Sucesiones en \mathbb{R}: límite, monotonía y acotación, subsucesiones y sucesiones de Cauchy.
4. Series: convergencia, criterios de convergencia, convergencia absoluta y condicional.
5. Integrales impropias: criterios de convergencia y criterio serie-integral.
6. Topología en \mathbb{R}^n: normas, abiertos, cerrados, interior, frontera, puntos de acumulación y compactos.
7. Continuidad en \mathbb{R}^n: límites, continuidad y caracterización por sucesiones.
8. Diferenciabilidad: derivadas parciales y direccionales, diferencial, plano tangente, regla de la cadena y derivadas de orden superior.
9. Integrales múltiples: integrales dobles y triples, teorema de Fubini y cambio de variables a polares, cilíndricas y esféricas.

Frente a un currículo estándar, CDIVV junta la parte de series y ecuaciones diferenciales de un Cálculo 2 con la parte diferencial e integral de un Cálculo 3. Los extremos condicionados y los teoremas integrales quedan para Cálculo Vectorial.

Mapa de temas de CDIVV

Los cursos de cálculo en Facultad de Ingeniería

Si necesitas repasar, vuelve a la guía de Cálculo en una Variable. Después sigue con la guía de Cálculo Vectorial.

Ejemplos de problemas al nivel de CDIVV

1. Ecuación lineal de segundo orden. Para y'' - 3y' + 2y = 0, la ecuación característica r^2 - 3r + 2 = 0 tiene raíces 1 y 2, así que

2. Criterio del cociente. Para \sum \frac{n}{2^n}:

así que la serie converge.

3. Coordenadas polares. Sobre el disco x^2 + y^2 \le 1:

Cómo te puede ir bien en CDIVV

• No subestimes la primera mitad. Complejos, ecuaciones diferenciales y series ocupan las primeras seis semanas y entran en el primer parcial.
• Haz listas de series. Decide qué criterio usar antes de calcular; los problemas de criterios de convergencia sirven para entrenar eso.
• Distingue derivable de diferenciable. En varias variables, tener derivadas parciales no alcanza. Trabaja ejemplos donde existen las parciales pero la función no es diferenciable.
• Dibuja las regiones. En integrales dobles y triples, los errores casi siempre vienen de los límites de integración.
• Practica a diario. Usa los ejercicios de práctica y el formulario de cálculo.

Consejo: el criterio serie-integral une dos temas del curso. Si sabes decidir si \int_1^\infty \frac{dx}{x^p} converge, ya sabes decidir si \sum \frac{1}{n^p} converge.