Cálculo en una Variable Udelar (FIng): temario, guía y práctica

Cálculo Diferencial e Integral en una Variable es el primer curso de cálculo de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de la República (Udelar), dictado por el Instituto de Matemática y Estadística (IMERL). Según el programa oficial, tiene 13 créditos y 4,5 horas semanales de teórico más 3 de práctico. Busca que el estudiante razone con rigor y que domine las técnicas básicas del cálculo diferencial e integral: derivar, integrar, linealizar, aproximar con polinomios y estimar errores. En esta guía relacionamos cada tema del programa con lecciones de práctica, para que estudies resolviendo ejercicios con corrección inmediata.

Qué cubre el curso

El temario oficial tiene siete temas:

1. Número real y funciones: naturales, enteros y racionales, axiomas de cuerpo ordenado, axioma de completitud, nociones de topología en la recta, funciones inyectivas, sobreyectivas, composición y monotonía.
2. Integrales: la integral como función de área, integrales de funciones escalonadas y monótonas, integrales de polinomios.
3. Trigonometría: círculo trigonométrico, funciones trigonométricas y sus inversas, fórmulas de suma de ángulos.
4. Continuidad: definición de límite y continuidad, límites de funciones compuestas, teorema de Bolzano, teorema de Weierstrass y discontinuidades.
5. Derivabilidad: derivada en un punto, regla de la cadena, teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy, crecimiento, extremos locales, concavidad y regla de L'Hôpital.
6. Teorema Fundamental: Teorema Fundamental del Cálculo, regla de Barrow y técnicas de primitivas (partes, fracciones simples y cambio de variable).
7. Desarrollo de Taylor: polinomio de Taylor, su uso en el cálculo de límites y la estimación del error.

El cronograma tentativo reparte el curso en 15 semanas. Llama la atención el orden: la integral se define en la semana 3, antes que los límites, siguiendo el estilo de Apostol. El curso cubre todo un Cálculo 1 estándar y suma técnicas de integración y Taylor, que en otros lugares están en Cálculo 2.

Mapa de temas del curso

Los cursos de cálculo en Facultad de Ingeniería

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Ejemplos de problemas al nivel del curso

1. Límite con Taylor. Como \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3),

2. Teorema Fundamental. Si F(x) = \int_0^{x^2} e^{t^2}\,dt, por la regla de la cadena

3. Fracciones simples.

Cómo te puede ir bien en el curso

• Toma en serio las definiciones. El curso sigue a Apostol y los parciales tienen parte teórica. Aprende los enunciados exactos de Bolzano, Weierstrass, Rolle y Lagrange.
• Automatiza las cuentas. Si derivar e integrar te cuesta poco, tienes más tiempo para la teoría. Practica en ejercicios de práctica y con problemas de regla de la cadena.
• Usa Taylor para límites. Es una herramienta central del final del curso; practica con problemas de series de Taylor.
• No pierdas los cuestionarios de EVA. Suman hasta 10 puntos y ayudan a llegar a la exoneración.
• Ten el formulario a mano. El formulario de cálculo reúne derivadas, primitivas y desarrollos notables.

Consejo: la integral aparece antes que la derivada en este curso. Cuando llegues al Teorema Fundamental, vuelve a las primeras semanas: verás por qué la integral de una derivada recupera la función.