Integración Varias Variables US (1710014): temario y práctica

Integración de Funciones de Varias Variables (código 1710014) es la asignatura de cálculo integral en varias variables del Grado en Matemáticas de la Universidad de Sevilla. Se cursa en el segundo cuatrimestre de segundo, tiene 6 créditos ECTS y la imparte el Departamento de Análisis Matemático. Llega justo después de Diferenciación de Funciones de Varias Variables y cierra el bloque de cálculo del grado. Aquí relacionamos cada tema con nuestras lecciones de práctica.

Qué cubre Integración de Funciones de Varias Variables (1710014)

El proyecto docente 2026-27 lista estos bloques temáticos: integración reiterada y cambio de variable, cálculo de volúmenes y otras aplicaciones, y teoremas clásicos del cálculo vectorial. Los organiza en dos bloques y cuatro temas:

Bloque I. La integral de Lebesgue (28 h)

1. Medida de Lebesgue en \mathbb{R}^n (8 h): volumen de intervalos, medida de abiertos, medida exterior, conjuntos medibles, invariancia por isometrías y conjuntos no medibles.
2. Integración reiterada (20 h): integral de Lebesgue en \mathbb{R}^n, principio de Cavalieri, teorema de Fubini, interpretación geométrica y cambio de variables, incluidos polares, cilíndricas y esféricas.

Bloque II. Integración en variedades (28 h)

3. Integral de línea (10 h): curvas en \mathbb{R}^n, elemento de longitud, integrales de campos escalares y vectoriales, independencia del camino, lema de Poincaré y teorema de Green.
4. Integral de superficie (18 h): superficies, elemento de área, integrales de campos escalares y vectoriales, teorema de Stokes y teorema de Gauss.

Los temas 2, 3 y 4 equivalen a las unidades de integrales múltiples y cálculo vectorial de Cálculo 3. El tema 1, la teoría de la medida, va más allá de cualquier curso de cálculo y no tiene lección en nuestra plataforma.

Mapa de temas de Integración de Funciones de Varias Variables

Cálculo en el Grado en Matemáticas de Sevilla

Cómo se evalúa

Según el proyecto docente del grupo 1, la evaluación combina las convocatorias oficiales y una evaluación continua con dos pruebas escritas, una por bloque, hacia la mitad y al final del cuatrimestre. Para aprobar por evaluación continua hace falta al menos un 3,5 en cada prueba y una media de 5. Todas las pruebas consisten en ejercicios teóricos y prácticos.

Ejemplos de problemas de este nivel

1. Coordenadas esféricas. El volumen de la bola de radio R es

2. Campo conservativo. \mathbf{F} = (2xy,\, x^2) es el gradiente de f(x, y) = x^2 y, así que su integral de línea entre (0, 0) y (1, 2) vale f(1, 2) - f(0, 0) = 2 por cualquier camino.

3. Teorema de Gauss. Para \mathbf{F} = (x, y, z) sobre la esfera unidad, \nabla \cdot \mathbf{F} = 3 y el flujo saliente es 3 \cdot \frac{4}{3}\pi = 4\pi.

Cómo te puede ir bien en esta asignatura

• Separa teoría y cálculo: el bloque de Lebesgue pide definiciones y demostraciones; Fubini y los teoremas integrales piden, sobre todo, práctica.
• Domina los jacobianos de polares (r), cilíndricas (r) y esféricas (\rho^2 \sin\varphi); aparecen en casi todos los ejercicios.
• Comprueba siempre la orientación de curvas y superficies antes de aplicar Green, Stokes o Gauss.
• Haz series cortas de integrales iteradas y de línea en nuestra práctica y ten a mano el formulario.