Diferenciación Varias Variables US (1710010): temario y práctica

Diferenciación de Funciones de Varias Variables (código 1710010) es la asignatura de cálculo diferencial en varias variables del Grado en Matemáticas de la Universidad de Sevilla. Se cursa en el primer cuatrimestre de segundo, tiene 6 créditos ECTS y la imparte el Departamento de Análisis Matemático. Continúa el trabajo de Cálculo Infinitesimal pasando de la recta a \mathbb{R}^n. Aquí relacionamos cada tema con nuestras lecciones de práctica.

Qué cubre Diferenciación de Funciones de Varias Variables (1710010)

El proyecto docente 2026-27 lista estos bloques temáticos: continuidad, diferenciación, funciones inversas e implícitas, y extremos. Los ordena en cuatro temas con horas orientativas:

1. Introducción y propiedades de \mathbb{R}^n (8 h): la estructura donde viven las funciones del curso.
2. Continuidad y diferenciabilidad (20 h): límites y continuidad en \mathbb{R}^n, derivadas parciales y direccionales, regla de la cadena, valor medio, derivadas de orden superior, derivadas cruzadas y fórmula de Taylor.
3. Teorema de la función implícita (12 h): función implícita, función inversa y aplicaciones.
4. Extremos de funciones de varias variables (16 h): extremos relativos y absolutos, extremos condicionados con multiplicadores de Lagrange y aplicaciones.

Corresponde a la unidad de derivadas parciales de un Cálculo 3, con más teoría: aquí se demuestran los teoremas, no solo se aplican.

Mapa de temas de Diferenciación de Funciones de Varias Variables

Cálculo en el Grado en Matemáticas de Sevilla

Cómo se evalúa

Según el proyecto docente del grupo 1, hay dos pruebas escritas durante el curso: la primera sobre los temas 1 y 2 y la segunda, en la última semana de clase, sobre los temas 3 y 4. Si en ambas se saca al menos un 4, la nota del curso es la media y tiene carácter liberatorio para la convocatoria de enero. Si no, se va al examen final, una prueba escrita única sobre 10 puntos. Se aprueba con 5.

Ejemplos de problemas de este nivel

1. Diferenciabilidad. La función f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} con f(0, 0) = 0 tiene derivadas parciales en el origen (f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0), pero no es continua allí: sobre la recta y = x vale siempre \frac{1}{2}. Tener parciales no implica ser diferenciable.

2. Función implícita. La ecuación x^2 + y^2 + z^2 = 3 define z(x, y) cerca de (1, 1, 1) porque F_z = 2z = 2 \ne 0, y

3. Extremos condicionados. Los extremos de f(x, y) = x + y sobre x^2 + y^2 = 2 salen de 1 = 2\lambda x, 1 = 2\lambda y: x = y = \pm 1, con máximo 2 y mínimo -2.

Cómo te puede ir bien en esta asignatura

• Busca contraejemplos: gran parte de la teoría consiste en saber qué implica qué (parciales, continuidad, diferenciabilidad).
• Practica la regla de la cadena en forma matricial hasta hacerla sin pensar; reaparece en la función implícita y en los cambios de variable de la asignatura siguiente.
• Clasifica muchos puntos críticos con la matriz hessiana; nuestra práctica de derivadas parciales ayuda a ganar velocidad.
• Repasa Taylor en una variable antes del tema 2 con nuestra lección de polinomios de Taylor.