Analyse II MATH-106 EPFL : contenu, guide d'étude et exercices

Analyse II (MATH-106) est le deuxième cours d'analyse de première année à l'EPFL. Après l'étude des fonctions d'une variable en Analyse I, il passe à l'espace \mathbb{R}^n et aux fonctions de plusieurs variables, puis aux intégrales multiples et aux équations différentielles. Ce guide relie chaque notion du cours à des exercices interactifs, avec une correction immédiate.

Ce que couvre Analyse II

Selon le Cours Book de l'EPFL (section MATH-106(c)), le contenu comprend quatre parties : l'espace \mathbb{R}^n, le calcul différentiel des fonctions sur \mathbb{R}^n, les intégrales sur \mathbb{R}^n et les équations différentielles ordinaires. Les mots-clés détaillent le calcul différentiel : dérivée partielle, différentielle, matrice jacobienne, théorème de la valeur moyenne, matrice hessienne, développement limité, gradient, divergence, rotationnel, laplacien, règle de composition, théorème des fonctions implicites et multiplicateurs de Lagrange. S'y ajoutent l'intégrale multiple et les équations différentielles ordinaires.

En termes nord-américains, Analyse II correspond à un Calcul 3 (sans les théorèmes intégraux du calcul vectoriel) combiné à une introduction aux équations différentielles, le tout avec la rigueur d'un cours d'analyse.

Plan des notions d'Analyse II

Analyse II après Analyse I

Les outils d'Analyse I reviennent constamment : les développements limités deviennent des développements à plusieurs variables, et la règle de dérivation en chaîne devient la règle de composition avec la matrice jacobienne.

Exemples d'exercices au niveau d'Analyse II

1. Matrice jacobienne. Pour F(x, y) = (x^2 y,\ x + y^2) :

2. Multiplicateurs de Lagrange. Maximiser f(x, y) = xy sous la contrainte x + y = 10. Avec \nabla f = \lambda \nabla g : y = \lambda et x = \lambda, donc x = y = 5 et le maximum vaut 25.

3. Intégrale double. Sur le triangle 0 \leq y \leq x \leq 1 :

Comment réussir Analyse II

• Revoyez l'algèbre linéaire. Jacobienne, hessienne et différentielle sont des matrices et des applications linéaires : les calculs vont beaucoup plus vite si Algèbre linéaire I est bien acquise.
• Dessinez les domaines d'intégration avant de poser les bornes. La leçon Régions générales entraîne cette étape.
• Classez les points critiques avec la hessienne et pratiquez-le jusqu'à ce que ce soit automatique, avec la leçon Points critiques et nos exercices.
• Gardez le formulaire à portée de main et relisez les erreurs fréquentes en calcul avant l'examen.

Astuce : une dérivée partielle se calcule exactement comme une dérivée d'Analyse I, en gelant les autres variables. Si vous maîtrisez les règles à une variable, vous savez déjà l'essentiel.