Analyse I MATH-101 EPFL : contenu, guide d'étude et exercices

Analyse I (MATH-101) est le premier cours d'analyse de l'EPFL, obligatoire au premier semestre de Bachelor, par exemple en génie mécanique et en informatique. Il est donné en plusieurs sections parallèles selon le programme, avec le même socle : l'analyse rigoureuse des fonctions réelles d'une variable. Ce guide relie chaque notion du cours à des exercices interactifs, pour développer les réflexes de calcul qui accompagnent les démonstrations.

Ce que couvre Analyse I

D'après le Cours Book de l'EPFL, le cours étudie les concepts fondamentaux de l'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles d'une variable. Le plan de la section MATH-101(c) se décompose ainsi : raisonnement, démonstration et argumentation en mathématiques ; nombres réels et complexes, structures et fonctions ; suites, limites et continuité ; séries numériques ; fonctions réelles et processus de limite ; dérivées et intégrales. Les mots-clés précisent le calcul différentiel (fonctions de classe C^1, accroissements finis), les développements limités, les formules de Taylor et de Mac Laurin, les séries entières, l'intégrale de Riemann, les primitives, le théorème fondamental de l'analyse et les intégrales impropres.

Comparé à une séquence nord-américaine, Analyse I couvre l'essentiel de Calcul 1 et une grande partie de Calcul 2 (séries, Taylor, intégrales impropres), avec en plus l'exigence de démonstration d'un cours de real analysis.

Plan des notions d'Analyse I

Analyse I et Analyse II à l'EPFL

Les sections se distinguent surtout par le programme auquel elles s'adressent et par la langue : il existe une version en anglais (MATH-101(en)), en allemand (MATH-101(de)) et une version en classe inversée (MATH-101(pi)). Pour la suite, voir le guide d'Analyse II.

Exemples d'exercices au niveau d'Analyse I

1. Limite par développement limité. Avec \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) :

2. Convergence d'une série. La série \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2 + n} converge par comparaison avec \sum \frac{1}{n^2}, car 0 < \frac{1}{n^2 + n} \leq \frac{1}{n^2}. Elle est même télescopique et vaut 1.

3. Intégrale impropre.

Comment réussir Analyse I

• Faites toutes les séries d'exercices. Le cours prévoit 2 h d'exercices par semaine : c'est là que les définitions deviennent des outils. Complétez avec nos exercices.
• Apprenez les développements limités usuels (e^x, \sin x, \cos x, \ln(1 + x)). Ils simplifient la plupart des calculs de limites. Le formulaire les regroupe.
• Écrivez les définitions à chaque preuve. Une démonstration de limite ou de continuité commence presque toujours par la définition avec \varepsilon.
• Évitez les pièges classiques, comme appliquer la règle de l'Hôpital hors d'une forme indéterminée. Voir les erreurs fréquentes en calcul.

Astuce : pour une série à termes positifs, essayez dans l'ordre : terme général, comparaison avec une série de Riemann \sum \frac{1}{n^p}, puis critère de d'Alembert. La leçon Choisir un critère entraîne ce réflexe.