LEPL1105 Analyse II UCLouvain : contenu, guide d'étude et exercices

LEPL1105 Analyse II est le second cours d'analyse du bachelier en sciences de l'ingénieur à l'UCLouvain. Après LEPL1102, centré sur les fonctions d'une variable, il passe à plusieurs variables : différentiabilité, optimisation sous contrainte, intégrales multiples et analyse vectorielle. Il ajoute les équations différentielles linéaires à coefficients constants. Ce guide relie chaque thème de la fiche officielle à des exercices interactifs.

Ce que couvre LEPL1105

D'après la fiche descriptive officielle de l'UCLouvain (2025-2026), LEPL1105 vaut 5 crédits, pour 30 heures de cours et 30 heures d'exercices au second quadrimestre. Il suppose acquises les notions des cours LEPL1101 et LEPL1102. Les thèmes abordés sont les fonctions de plusieurs variables réelles, la continuité et la différentiabilité, les problèmes d'approximation et d'optimisation, l'analyse vectorielle et les théorèmes intégraux, les équations différentielles linéaires à coefficients constants, la modélisation et la résolution de problèmes simples.

Le contenu détaillé comprend :

• équations différentielles linéaires à coefficients constants d'ordre quelconque, problème de Cauchy ;
• fonctions réelles de plusieurs variables scalaires et vectorielles, topologie, continuité ;
• différentiabilité, dérivées partielles et directionnelles, règle de la chaîne, plan tangent, gradient et matrice jacobienne ;
• dérivées partielles d'ordre supérieur et polynôme de Taylor ;
• extrema libres et extrema sous contrainte, multiplicateurs de Lagrange ;
• intégrales multiples et changements de variables ;
• intégrales de ligne et de surface, circulation et flux d'un champ de vecteurs ;
• notion de bord et théorèmes de type Stokes.

Plan des notions de LEPL1105

Analyse I et Analyse II en BAC 1

Le guide de LEPL1102 Analyse I détaille le premier quadrimestre.

Exemples d'exercices au niveau de LEPL1105

1. Extremum sous contrainte. Maximiser f(x, y) = xy sous x + y = 2 : \nabla f = \lambda \nabla g donne y = \lambda et x = \lambda, donc x = y = 1 et f = 1.

2. Intégrale en polaires. Sur le disque unité D :

3. Équation linéaire. Les solutions de y'' + y = 0 sont y = A\cos x + B\sin x.

Comment réussir LEPL1105

• Dessinez les domaines. Pour une intégrale multiple, un croquis du domaine fixe les bornes et évite la plupart des erreurs.
• Choisissez les coordonnées adaptées. Polaires pour les disques, cylindriques ou sphériques pour les solides de révolution.
• Reliez les théorèmes entre eux. Green, Stokes et la divergence disent la même chose à des dimensions différentes : l'intégrale d'une dérivée sur un domaine égale une intégrale sur le bord.
• Pratiquez régulièrement. Nos exercices de Calcul 3 donnent une correction immédiate.

Astuce : avant de calculer une circulation, vérifiez si le champ est conservatif. Si c'est le cas, la circulation se calcule avec un potentiel, sans paramétrer la courbe.