LEPL1102 Analyse I UCLouvain : contenu, guide d'étude et exercices

LEPL1102 Analyse I est le premier cours d'analyse du bachelier en sciences de l'ingénieur à l'UCLouvain (École polytechnique de Louvain). Donné au premier quadrimestre, il couvre en un seul cours ce qu'un cursus nord-américain répartit entre Calcul 1, une partie de Calcul 2 et le début de Calcul 3. Ce guide relie chaque thème de la fiche officielle à des exercices interactifs, avec une correction immédiate.

Ce que couvre LEPL1102

D'après la fiche descriptive officielle de l'UCLouvain (année 2025-2026), LEPL1102 vaut 5 crédits, pour 30 heures de cours et 30 heures d'exercices au premier quadrimestre. Les thèmes abordés sont : suites et séries, calcul différentiel et intégral pour les fonctions d'une variable réelle, nombres complexes, introduction aux équations différentielles du premier et du deuxième ordre, introduction au calcul différentiel pour les fonctions de deux variables, techniques de démonstration, modélisation et résolution de problèmes simples.

Le contenu détaillé suit cet ordre :

• nombres réels, inégalités, suites et séries ;
• fonctions réelles d'une variable, limites et continuité, suites de fonctions ;
• dérivation et applications, optimisation ;
• polynôme de Taylor ;
• nombres complexes ;
• intégration et applications ;
• introduction aux équations différentielles ;
• introduction au calcul différentiel à plusieurs variables : topologie, continuité, différentiabilité, dérivées partielles, règle de la chaîne, gradient et plan tangent pour les fonctions de deux variables.

Plan des notions de LEPL1102

Analyse I et Analyse II en BAC 1

Voir le guide de LEPL1105 Analyse II.

Exemples d'exercices au niveau de LEPL1102

1. Polynôme de Taylor. À l'ordre 2 en 0, \ln(1 + x) \approx x - \frac{x^2}{2}, donc \ln(1{,}1) \approx 0{,}095.

2. Optimisation. Le rectangle d'aire maximale de périmètre 4 est le carré de côté 1 : avec A(x) = x(2 - x), on a A'(x) = 2 - 2x = 0 en x = 1.

3. Dérivées partielles. Pour f(x, y) = x^2 y + \sin y : f_x = 2xy et f_y = x^2 + \cos y.

Comment réussir LEPL1102

• Suivez le rythme du quadrimestre. Le programme est dense : une semaine de retard sur les séances d'exercices se rattrape difficilement.
• Automatisez le calcul. Dérivées, primitives et limites doivent être sûres pour garder du temps pour la modélisation. Nos exercices y aident.
• Rédigez des démonstrations courtes. Les techniques de démonstration font partie des thèmes officiels : entraînez-vous à justifier chaque étape.
• Anticipez Analyse II. La fin du cours sur deux variables prépare directement LEPL1105.

Astuce : pour un problème d'optimisation, écrivez d'abord la grandeur à optimiser en fonction d'une seule variable, puis cherchez où la dérivée s'annule. La leçon Optimisation suit ce schéma.