Analyse II réelle UNIGE (12M025) : contenu, guide et exercices

Analyse II - analyse réelle - automne (12M025) est le cours d'analyse qui suit Analyse I à la Faculté des sciences de l'Université de Genève. Son objectif officiel est de présenter des éléments de la théorie des fonctions de plusieurs variables réelles et une introduction à la théorie des formes différentielles. C'est le cadre moderne des grands théorèmes intégraux, Green et Stokes. Ce guide relie les notions du cours à des exercices interactifs de calcul vectoriel.

Ce que couvre 12M025

D'après le programme des cours officiel de l'UNIGE (année 2026), le cours compte 2 heures de cours et 2 heures d'exercices par semaine au semestre d'automne. Il vaut 6 ECTS en BSc mathématiques et 3,5 ECTS en BSc physique, avec un examen écrit. Les prérequis sont Analyse I et Algèbre I.

Le programme officiel compte deux parties :

1. fonctions de plusieurs variables réelles, fonctions implicites ;
2. formes différentielles, formes exactes et fermées, intégrales des formes différentielles, théorème de Green, lemme de Poincaré, théorème de Stokes.

Dans un cursus nord-américain, ces résultats apparaissent en fin de Calcul 3 (vector calculus) sous la forme de champs de vecteurs : un champ conservatif correspond à une forme exacte, et la condition sur les dérivées croisées correspond à une forme fermée. Le langage des formes différentielles est plus abstrait, mais les calculs de base sont les mêmes.

Plan des notions de 12M025

L'analyse en Bachelor à Genève

Voir les guides de 11M020 et de 11M021.

Exemples d'exercices au niveau de 12M025

1. Forme fermée. La forme \omega = 2xy\,dx + x^2\,dy est fermée car \frac{\partial (2xy)}{\partial y} = 2x = \frac{\partial (x^2)}{\partial x}. Sur \mathbb{R}^2, elle est exacte : \omega = d(x^2 y).

2. Intégrale d'une forme exacte. Le long de tout chemin de (0, 0) à (1, 2) :

3. Green. Pour le carré unité, \oint (x^2\,dx + xy\,dy) = \iint (y - 0)\,dA = \frac{1}{2}.

Comment réussir 12M025

• Faites le lien avec les champs de vecteurs. Traduire chaque énoncé sur les formes en énoncé sur les champs rend les calculs familiers.
• Retenez le contre-exemple classique. La forme \frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2 + y^2} est fermée sur le plan privé de l'origine mais pas exacte : le lemme de Poincaré exige un domaine étoilé.
• Paramétrez proprement. Une intégrale curviligne commence toujours par une paramétrisation et son orientation.
• Pratiquez. Nos exercices de calcul vectoriel donnent une correction immédiate.

Astuce : avant d'intégrer une forme sur un chemin, testez si elle est fermée. Sur un domaine étoilé, elle est alors exacte et il suffit d'évaluer une primitive aux extrémités.