Analyse I automne UNIGE (11M020) : contenu, guide et exercices

Analyse I - automne (11M020) est le premier cours d'analyse de la Faculté des sciences de l'Université de Genève, suivi en première année par les étudiants en mathématiques, en physique et en informatique. Il construit l'analyse sur des bases rigoureuses, des nombres réels jusqu'au théorème fondamental, en revisitant ce qui a été vu au collège. Ce guide relie chaque chapitre du programme officiel à des exercices interactifs.

Ce que couvre Analyse I - automne

D'après le programme des cours officiel de l'UNIGE (année 2026), le cours compte 4 heures de cours, 3 heures d'exercices et 1 heure de travaux pratiques par semaine. Il vaut 9 ECTS en BSc mathématiques, 7 en BSc physique et 6 en BSc informatique. Il n'a pas de prérequis et se termine par un examen écrit. Son objectif est d'initier à l'étude rigoureuse des nombres réels, des suites numériques et des fonctions continues, et de revisiter la dérivée et l'intégrale étudiées au collège.

Le programme officiel compte huit chapitres :

1. introduction à la logique et à la théorie des ensembles ;
2. ensembles des nombres entiers, rationnels et réels ;
3. suites numériques ;
4. fonctions continues d'une variable réelle ;
5. la dérivée ;
6. l'intégrale et le théorème fondamental de l'analyse ;
7. les fonctions trigonométriques, le logarithme et l'exponentielle ;
8. fonctions convexes.

Ce semestre correspond au contenu de Calcul 1 d'un cursus nord-américain, avec en plus les démonstrations d'un cours d'analyse réelle.

Plan des notions d'Analyse I - automne

L'analyse en Bachelor à Genève

Voir les guides de 11M021 et de 12M025.

Exemples d'exercices au niveau d'Analyse I

1. Limite d'une suite. Pour u_n = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}, on multiplie par la quantité conjuguée :

2. Convexité. f(x) = e^x vérifie f''(x) = e^x > 0, donc f est convexe et e^{\frac{a + b}{2}} \leq \frac{e^a + e^b}{2}.

3. Théorème fondamental. Si F(x) = \int_0^x \cos(t^2)\,dt, alors F'(x) = \cos(x^2).

Comment réussir Analyse I

• Utilisez les 3 heures d'exercices. C'est là que les définitions avec \varepsilon deviennent des outils concrets.
• Apprenez les énoncés avec leurs hypothèses. Valeurs intermédiaires, bornes atteintes et accroissements finis demandent tous la continuité sur un intervalle fermé.
• Gardez le calcul du collège en forme. Nos exercices donnent une correction immédiate sur les dérivées et les intégrales.
• Évitez les pièges classiques. Voir les erreurs fréquentes en calcul.

Astuce : pour montrer qu'une équation f(x) = 0 a une solution, cherchez deux points où f change de signe, puis appliquez le théorème des valeurs intermédiaires.