MAT354 Séries et intégrales UGA : programme, guide et exercices

MAT354 Séries et intégrales est une UE d'analyse du semestre d'automne à l'Université Grenoble Alpes, enseignée au campus de Valence et commune aux licences de mathématiques, de physique et d'informatique. Elle prolonge MAT151 et MAT252 en étudiant deux questions de convergence : quand une somme infinie a-t-elle un sens, et quand une intégrale sur un domaine non borné ou d'une fonction non bornée converge-t-elle ? Ce guide relie chaque notion à des exercices interactifs.

Ce que couvre MAT354

La fiche officielle de l'UGA indique 6 ECTS et une UE en deux parties de volume égal. Le syllabus officiel est le suivant :

• Séries numériques : séries convergentes et divergentes, séries à termes réels positifs, séries absolument convergentes, comparaison série-intégrale, séries alternées.
• Intégrales : construction rigoureuse de l'intégrale de Riemann et ses propriétés, sommes de Riemann, méthodes de calcul d'intégrales, intégrales généralisées, convergence absolue et semi-convergence.

Les objectifs précisent qu'il faut savoir étudier la convergence d'une série et d'une intégrale généralisée avec les outils classiques (comparaison, développements limités) et connaître la construction de l'intégrale de Riemann avec ses applications, dont le théorème fondamental de l'analyse. Les prérequis recommandés sont les contenus de MAT151 et MAT252.

En termes nord-américains, MAT354 correspond à l'unité suites et séries et aux intégrales impropres de Calcul 2, avec une construction rigoureuse de l'intégrale.

Plan des notions de MAT354

La suite d'analyse à l'UGA (Valence)

Voir les guides de MAT151 et de MAT252.

Exemples d'exercices au niveau de MAT354

1. Série de Riemann. \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^p} converge si et seulement si p > 1. Donc \sum \frac{1}{n\sqrt{n}} converge (p = \frac{3}{2}).

2. Série alternée. \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n}{n} converge par le critère des séries alternées, mais pas absolument : elle est semi-convergente.

3. Intégrale généralisée.

Comment réussir MAT354

• Connaissez les références. Séries géométriques, séries de Riemann \sum \frac{1}{n^p} et intégrales \int_1^{\infty} \frac{dx}{x^p} servent de point de comparaison dans presque tous les exercices.
• Utilisez les équivalents. Pour une série à termes positifs, remplacer le terme général par un équivalent simple règle la plupart des cas.
• Séparez convergence et calcul. On montre d'abord que la série ou l'intégrale converge, on calcule ensuite si c'est demandé.
• Entraînez-vous à choisir le critère. La leçon Choisir un critère et nos exercices travaillent ce réflexe.

Astuce : si le terme général ne tend pas vers 0, la série diverge grossièrement. Vérifiez-le toujours en premier, c'est le test le plus rapide.