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Université Grenoble Alpes

MAT252 Analyse réelle UGA : programme, guide d'étude et exercices

Guide d'étude de l'UE MAT252 Analyse réelle à l'Université Grenoble Alpes : topologie de R, suites, continuité, Taylor et intégrale de Riemann, avec exercices.

Université Grenoble Alpes Mis à jour Lecture : 3 min

En bref

Code de l'UE
MAT 252 (code Apogée GVX2MT20)
Crédits
6 ECTS
Semestre
Semestre 2 (printemps), Licence Mathématiques
Volume horaire
22 h de cours magistraux et 36 h de travaux dirigés
Composante
Département Sciences Drôme Ardèche (DSDA), campus Valence - Briffaut
Prérequis recommandés
UE Notions de base en algèbre et analyse (MAT 151)
Contenu
Topologie de R, suites numériques, critère de Cauchy, fonctions et continuité, dérivabilité, théorèmes de Rolle et de Taylor, développements limités, intégrale de Riemann et primitives
UE suivante
MAT 354 Séries et intégrales
S'entraîner ici
Limites, applications de la dérivée et intégrales de Calcul 1

Essaie toi-même

Pourquoi $f(x) = \dfrac{x^{2} - 9}{x - 3}$ n'est-elle pas continue en $x = 3$ ?
T'entraîner sur d'autres comme celui-ci →
Sur cette page
  1. Ce que couvre MAT252
  2. Plan des notions de MAT252
  3. La suite d'analyse à l'UGA (Valence)
  4. Exemples d'exercices au niveau de MAT252
  5. Comment réussir MAT252

MAT252 Analyse réelle est l'UE d'analyse du second semestre de la Licence Mathématiques à l'Université Grenoble Alpes, telle qu'elle est enseignée au campus de Valence par le Département Sciences Drôme Ardèche. Son objectif officiel est d'apporter les connaissances de base en analyse de première année. Après MAT151, plus calculatoire, MAT252 introduit les définitions rigoureuses et les grands théorèmes. Ce guide relie chaque notion à des exercices interactifs.

Ce que couvre MAT252

D'après la fiche officielle de l'UGA, MAT252 vaut 6 ECTS et se déroule au semestre 2 (printemps, de janvier à avril ou mai). Elle compte 22 heures de cours et 36 heures de travaux dirigés. Le prérequis recommandé est l'UE MAT151. Le contenu officiel se décline en trois blocs :

  • topologie de \mathbb{R}, suites numériques, critère de Cauchy, fonctions, continuité ;
  • dérivabilité, théorèmes de Rolle et de Taylor, développements limités ;
  • intégrale de Riemann et primitives.

Comparée à un cursus nord-américain, MAT252 couvre le cœur de Calcul 1 (limites, continuité, dérivées, intégrale) avec la rigueur d'un premier cours d'analyse réelle, et les polynômes de Taylor que l'on voit d'habitude en Calcul 2.

Plan des notions de MAT252

Notion de MAT252 S'exercer Lire
Suites numériques Suites et leurs limites Théorème des gendarmes
Limites de fonctions Qu'est-ce qu'une limite ?, formes 0/0 Règles sur les limites
Continuité Continuité, TVI Valeurs intermédiaires, continuité
Dérivabilité Définition par la limite, dérivabilité Dérivée par la limite
Rolle et accroissements finis Approximation et TAF Rolle, accroissements finis
Taylor et développements limités Polynômes de Taylor, estimer l'erreur Théorème de Taylor
Limites par développements Règle de l'Hôpital Règle de l'Hôpital
Intégrale de Riemann Aire avec des rectangles, aire algébrique Sommes de Riemann
Primitives Théorème fondamental Théorème fondamental

La suite d'analyse à l'UGA (Valence)

UE Semestre Contenu
MAT151 Notions de base en algèbre et analyse S1 Raisonnement, complexes, dérivées, primitives
MAT252 Analyse réelle S2 Suites, continuité, Taylor, intégrale de Riemann
MAT354 Séries et intégrales Automne suivant Séries numériques, intégrales généralisées

Voir aussi les guides de MAT151 et de MAT354.

Exemples d'exercices au niveau de MAT252

1. Limite par développement limité. Avec \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2) :

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

2. Théorème de Rolle. Si f(x) = x^3 - x sur [0, 1], alors f(0) = f(1) = 0, donc il existe c \in \,]0, 1[ avec f'(c) = 0, ici c = \frac{1}{\sqrt{3}}.

3. Intégrale.

\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \left[ -\cos x \right]_0^{\pi} = 2

Comment réussir MAT252

  • Connaissez les énoncés exacts. Les hypothèses de Rolle et des accroissements finis (continuité sur le fermé, dérivabilité sur l'ouvert) sont souvent demandées.
  • Apprenez les développements limités usuels de e^x, \sin x, \cos x, \ln(1 + x) et (1 + x)^\alpha.
  • Gardez le calcul en forme. Limites, dérivées et intégrales doivent rester rapides. Nos exercices y aident.
  • Repérez les pièges, par exemple oublier la valeur absolue dans une primitive de \frac{1}{x}. Voir les erreurs fréquentes.

Astuce : pour une limite en 0 de forme \frac{0}{0}, un développement limité à l'ordre du dénominateur suffit presque toujours, et il évite d'appliquer l'Hôpital plusieurs fois.

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Questions fréquentes

Que couvre MAT252 Analyse réelle à l'UGA ?
La fiche officielle liste la topologie de R, les suites numériques et le critère de Cauchy, les fonctions et la continuité, la dérivabilité, les théorèmes de Rolle et de Taylor, les développements limités, l'intégrale de Riemann et les primitives.

Quel est le prérequis de MAT252 ?
La fiche recommande d'avoir suivi l'UE Notions de base en algèbre et analyse (MAT151) au semestre 1.

Combien d'heures compte MAT252 ?
L'UE compte 22 heures de cours magistraux et 36 heures de travaux dirigés, pour 6 ECTS.

Quelle UE vient après MAT252 ?
L'UE Séries et intégrales (MAT354), au semestre d'automne suivant, demande en prérequis le contenu de MAT151 et MAT252, en particulier les limites, les suites, les primitives et les développements limités.

Comment préparer l'examen de MAT252 ?
Revoyez les définitions et énoncés de théorèmes, puis entraînez-vous sur les calculs de limites, les développements limités et les intégrales. Les leçons de Calcul 1 sur PracticeCalculus couvrent la partie calculatoire.

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