Dérivée de e^(x²) : formule, étapes et exemples
La dérivée de e^(x²) est 2x·e^(x²). Étapes de la dérivation en chaîne, dérivée seconde, différence avec (eˣ)² et exemples comme e^(−x²).
Dérivées exponentielles et logarithmiques Mis à jour Lecture : 2 min
En bref
- Dérivée
- 2x\,e^{x^2}
- Dérivée seconde
- (4x^2 + 2)\,e^{x^2}
- Point critique
- x = 0, un minimum
- Fonction liée
- \dfrac{d}{dx}e^{-x^2} = -2x\,e^{-x^2}
- Intégrale
- \int e^{x^2}\,dx n'a pas d'expression élémentaire
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La dérivée de e^{x^2} est 2x\,e^{x^2}. L'exponentielle est recopiée telle quelle et multipliée par la dérivée de l'exposant x^2.
Étape par étape avec la règle de dérivation en chaîne
La fonction est une composée : une exponentielle extérieure e^u et un intérieur u = x^2. D'après la règle de dérivation en chaîne :
- On dérive l'extérieur en gardant l'intérieur : comme la dérivée de eˣ est e^x, on obtient e^{x^2}.
- On dérive l'intérieur : \frac{d}{dx}x^2 = 2x.
- On multiplie : e^{x^2}\cdot 2x = 2x\,e^{x^2}.
On écrit en général le 2x devant, pour que personne ne le prenne pour une partie de l'exposant.
Courbe de e^(x²) et de sa dérivée
La dérivée 2x\,e^{x^2} est négative pour x < 0 et positive pour x > 0, car e^{x^2} est toujours positif. La courbe descend donc, atteint son minimum en x = 0, puis remonte. Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et sa dérivée est une fonction impaire.
Dérivée seconde
On dérive 2x\,e^{x^2} avec la règle du produit :
Comme 4x^2 + 2 > 0, la courbe est convexe partout et n'a aucun point d'inflexion.
e^(x²) ou (eˣ)²
Elles se ressemblent mais ce sont des fonctions différentes :
| Fonction | Forme simplifiée | Dérivée |
|---|---|---|
| e^{x^2} | e^{(x^2)} | 2x\,e^{x^2} |
| (e^x)^2 | e^{2x} | 2e^{2x} |
En x = 3 : e^{x^2} = e^9 \approx 8103, mais (e^x)^2 = e^6 \approx 403. Voir la dérivée de e^(2x) pour la seconde.
Exemples corrigés
Exemple 1 : la courbe en cloche. Pour f(x) = e^{-x^2}, la dérivée intérieure est -2x :
Cette forme est au cœur de la loi normale. Le maximum est en x = 0.
Exemple 2 : une constante dans l'exposant. Pour g(x) = e^{3x^2 + 1},
Exemple 3 : un produit. Pour h(x) = x\,e^{x^2},
Remarquez que h'(x) est toujours positive, donc h est toujours croissante.
Erreurs fréquentes
- Oublier le 2x. \frac{d}{dx}e^{x^2} = e^{x^2} est faux ; cela ne marche que pour e^x tout seul.
- Écrire e^{2x}. L'exposant ne change jamais quand on dérive une exponentielle.
- Utiliser la règle de la puissance. x^2 e^{x^2 - 1} traite l'exponentielle comme une puissance de e à base variable. Ce n'en est pas une.
- S'attendre à une intégrale facile. On dérive e^{x^2} en une ligne, mais sa primitive n'a pas d'expression élémentaire. Lisez l'intégrale de e^(x²) pour comprendre pourquoi, et ce qu'on fait à la place.
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