Dérivée de ln(cos x) : formule, étapes et exemples

La dérivée de \ln(\cos x) est -\tan x. C'est un court calcul de dérivation en chaîne, et c'est la raison pour laquelle l'intégrale de \tan x fait intervenir un logarithme.

Étape par étape avec la règle de dérivation en chaîne

Pour le logarithme d'une fonction, la dérivée de ln x associée à la règle de dérivation en chaîne donne \frac{d}{dx}\ln u = \frac{u'}{u}. Ici, u = \cos x :

1. L'intérieur est u = \cos x.
2. Sa dérivée est u' = -\sin x (voir la dérivée de cos x).
3. On divise : \frac{u'}{u} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x.

Où ln(cos x) est définie

Un logarithme n'accepte que des valeurs positives, donc \ln(\cos x) n'existe que là où \cos x > 0. C'est l'intervalle \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) et ses translatés de 2\pi. Là où \cos x < 0, utilisez plutôt \ln\lvert\cos x\rvert. Elle a la même dérivée, -\tan x, partout où \cos x \ne 0.

Courbe de ln(cos x) et de sa dérivée

Comme \cos x \le 1, on a \ln(\cos x) \le 0, avec la valeur maximale 0 en x = 0. La dérivée seconde est -\sec^2 x, toujours négative, donc la courbe est concave partout où elle existe.

Pourquoi cela donne l'intégrale de tan x

Retournons le résultat. Comme \frac{d}{dx}\ln\lvert\cos x\rvert = -\tan x,

Les deux formes sont égales car -\ln\lvert\cos x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert}. La méthode complète, par changement de variable, se trouve sur la page intégrale de tan x.

Logarithmes d'autres fonctions trigonométriques

La dernière ligne est la célèbre formule derrière \int\sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C. Vérification : la dérivée de l'intérieur est \sec x\tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x), et en divisant par \sec x + \tan x, il reste \sec x.

Exemples corrigés

Exemple 1. \frac{d}{dx}\ln(\cos 2x) = \frac{-2\sin 2x}{\cos 2x} = -2\tan 2x.

Exemple 2. \frac{d}{dx}\ln(\cos^2 x) = \frac{d}{dx}2\ln(\cos x) = -2\tan x.

Exemple 3 : une tangente. En x = \frac{\pi}{4}, \ln\left(\cos\frac{\pi}{4}\right) = \ln\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\ln 2}{2} \approx -0.347, et la pente vaut -\tan\frac{\pi}{4} = -1. La tangente est y = -\frac{\ln 2}{2} - \left(x - \frac{\pi}{4}\right).

Erreurs fréquentes

1. Écrire \frac{1}{\cos x}. C'est \sec x, et cela oublie la dérivée intérieure -\sin x.
2. Perdre le signe moins. La dérivée de \cos x est -\sin x, donc la réponse est -\tan x, et non \tan x.
3. Écrire -\frac{1}{\sin x}. Vous avez inversé la dérivée intérieure au lieu de diviser par l'intérieur.

Entraînez-vous davantage à la dérivation en chaîne avec les exercices de dérivées trigonométriques.