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Dérivées trigonométriques

Dérivée de cos²x : formule, démonstration et exemples

La dérivée de cos²x est -2 sin x cos x, soit -sin 2x. Démonstration par la dérivation en chaîne, vérification par une identité et exemples comme cos²(4x).

Dérivées trigonométriques Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\frac{d}{dx}\,\cos^2 x = -2\sin x\cos x = -\sin 2x
Dérivée
-2\sin x\cos x
Forme simplifiée
-\sin 2x
Forme composée
\dfrac{d}{dx}\cos^2 u = -2\cos u\sin u\cdot u'
À ne pas confondre avec
\cos(x^2), dont la dérivée est -2x\sin(x^2)
Intégrale de cos²x
\int\cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C
Sur cette page
  1. Courbe de cos²x et de sa dérivée
  2. Démonstration par la règle de dérivation en chaîne
  3. Vérification par une formule de linéarisation
  4. Vérification avec sin²x
  5. Variantes composées
  6. Exemples corrigés
  7. Où la rencontrer
  8. Erreurs fréquentes

La dérivée de \cos^2 x est -2\sin x\cos x, ce qui revient à -\sin 2x.

\frac{d}{dx}\,\cos^2 x = -2\sin x\cos x = -\sin 2x

Courbe de cos²x et de sa dérivée

Courbe de y = cos²x et de sa dérivée y = -sin 2x
\cos^2 x part de son maximum 1 en x = 0 puis descend. Sa dérivée -\sin 2x est négative quand elle descend et positive quand elle monte.

Démonstration par la règle de dérivation en chaîne

\cos^2 x signifie (\cos x)^2. La fonction extérieure est le carré et la fonction intérieure est \cos x. Avec la règle de dérivation en chaîne et la dérivée de cos x :

\frac{d}{dx}(\cos x)^2 = 2\cos x\cdot(-\sin x) = -2\sin x\cos x

Comme 2\sin x\cos x = \sin 2x, on obtient -\sin 2x.

Vérification par une formule de linéarisation

On utilise \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} :

\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\right) = \frac{1}{2}\cdot(-2\sin 2x) = -\sin 2x

Vérification avec sin²x

Comme \cos^2 x = 1 - \sin^2 x, sa dérivée doit être 0 - \sin 2x, l'opposé de la dérivée de sin²x. Les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite y = \frac{1}{2}, donc leurs pentes sont toujours opposées.

Variantes composées

\frac{d}{dx}\cos^2 u = -2\cos u\sin u\cdot u' = -\sin(2u)\cdot u'
Fonction Dérivée Forme simplifiée
\cos^2(4x) -8\cos 4x\sin 4x -4\sin 8x
\cos^2(x^2) -4x\cos(x^2)\sin(x^2) -2x\sin(2x^2)
\cos^2(\pi x) -2\pi\cos(\pi x)\sin(\pi x) -\pi\sin(2\pi x)

Exemples corrigés

Exemple 1 : une valeur. En x = \frac{\pi}{6}, la pente vaut -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866.

Exemple 2 : une puissance plus élevée. \frac{d}{dx}\cos^3 x = 3\cos^2 x\cdot(-\sin x) = -3\cos^2 x\sin x.

Exemple 3 : un produit. \frac{d}{dx}\left(x\cos^2 x\right) = \cos^2 x - x\sin 2x.

Exemple 4 : où la pente est-elle nulle ? -\sin 2x = 0 quand x = \frac{k\pi}{2}. Aux multiples pairs de \frac{\pi}{2}, \cos^2 x = 1 (sommets). Aux multiples impairs, \cos^2 x = 0 (creux).

Où la rencontrer

La fonction \cos^2 x apparaît en physique et en ingénierie dès qu'on élève au carré une onde en cosinus. La puissance d'un courant alternatif est proportionnelle à \cos^2(\omega t), et l'intensité d'une lumière polarisée traversant un filtre suit \cos^2\theta (loi de Malus). Dans chaque cas, la dérivée indique à quelle vitesse cette grandeur varie. Comme la réponse se simplifie en -\sin 2x, le taux de variation est lui-même une onde simple, deux fois plus rapide que le cosinus de départ. Écrire la réponse sous cette forme courte permet aussi de trouver plus facilement où la pente est nulle, positive ou négative.

Erreurs fréquentes

  1. Perdre le signe moins. C'est la dérivée intérieure -\sin x qui le porte.
  2. Répondre 2\cos x ou -\sin^2 x. Aucune de ces réponses n'applique correctement la règle de dérivation en chaîne.
  3. Confondre \cos^2 x et \cos(x^2). \frac{d}{dx}\cos(x^2) = -2x\sin(x^2).

L'intégrale de \cos^2 x utilise la même identité, voir l'intégrale de cos²x.

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Questions fréquentes

Quelle est la dérivée de cos²x ?
C'est -2\sin x\cos x, qui se simplifie en -\sin 2x.

Quelle est la dérivée de cos²(2x) ?
Par la règle de dérivation en chaîne, 2\cos(2x)\cdot(-\sin(2x))\cdot 2 = -4\sin(2x)\cos(2x) = -2\sin(4x).

Pourquoi y a-t-il un signe moins ?
La dérivée intérieure est \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x. Le moins vient de là.

Quelle est la dérivée de cos²x - sin²x ?
Comme \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x, la dérivée est -2\sin 2x. Terme à terme, -\sin 2x - \sin 2x donne la même chose.

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