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Produits et intégration par parties

Intégrale de x ln x : formule, méthode et exemples

L'intégrale de x ln x vaut (x²/2) ln x − x²/4 + C. L'intégration par parties avec u = ln x, la vérification, un graphique et la formule pour xⁿ ln x.

Produits et intégration par parties Mis à jour Lecture : 3 min

En bref

\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C
Primitive
\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C
Méthode
Intégration par parties avec u = \ln x, dv = x\,dx
De 1 à e
\frac{e^2 + 1}{4} \approx 2.097
De 0 à 1
-\frac{1}{4}
Puissance quelconque
\int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C, n \ne -1
Sur cette page
  1. Graphique de x ln x avec l'aire de 1 à e
  2. Comment intégrer x ln x pas à pas
  3. Vérification par dérivation
  4. Intégrales définies
  5. La puissance quelconque xⁿ ln x
  6. Exemples corrigés
  7. Erreurs fréquentes

L'intégrale de x\ln x est \dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4} + C. C'est le produit d'une puissance et d'un logarithme, donc l'outil est l'intégration par parties, avec le logarithme comme u.

\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C

Graphique de x ln x avec l'aire de 1 à e

y = x ln x, avec l'aire de 1 à e hachurée
L'aire hachurée vaut \frac{e^2 + 1}{4} \approx 2.097. Entre 0 et 1, la courbe passe sous l'axe, et cette petite région a une aire algébrique de -\frac{1}{4}.

Comment intégrer x ln x pas à pas

On utilise l'intégration par parties : \int u\,dv = uv - \int v\,du.

  1. Choisir les facteurs. u = \ln x et dv = x\,dx. Les logarithmes viennent en premier dans LIATE.
  2. Trouver du et v. du = \frac{1}{x}\,dx et v = \frac{x^2}{2}.
  3. Appliquer la formule. \int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx
  4. Terminer. \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{x^2}{4}, donc \int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C

Le moment clé est l'étape 3 : le \frac{1}{x} de du simplifie une puissance de x dans v, et il reste une simple puissance. C'est toujours le cas quand le logarithme joue le rôle de u.

Vérification par dérivation

\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x\ln x + \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} - \frac{x}{2} = x\ln x + \frac{x}{2} - \frac{x}{2} = x\ln x

La page dérivée de x ln x détaille le calcul dans le sens direct.

Intégrales définies

De 1 à e :

\left[\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right]_1^e = \left(\frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4}\right) - \left(0 - \frac{1}{4}\right) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2+1}{4}

Cela vaut environ 2.097.

De 0 à 1 : cette intégrale est impropre en 0 car \ln x n'y est pas défini, mais x^2\ln x \to 0 quand x \to 0^+ :

\int_0^1 x\ln x\,dx = \left(0 - \frac{1}{4}\right) - 0 = -\frac{1}{4}

La puissance quelconque xⁿ ln x

Les mêmes étapes avec dv = x^n\,dx et v = \frac{x^{n+1}}{n+1} donnent

\int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C, \qquad n \ne -1
Intégrale Résultat
\int\ln x\,dx (n = 0) x\ln x - x + C
\int x^2\ln x\,dx \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C
\int\sqrt{x}\ln x\,dx \frac{2}{3}x^{3/2}\ln x - \frac{4}{9}x^{3/2} + C
\int\frac{\ln x}{x^2}\,dx (n = -2) -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C

Exemples corrigés

Exemple 1 : un cube. \int x^3\ln x\,dx = \frac{x^4}{4}\ln x - \frac{x^4}{16} + C, d'après la formule générale avec n = 3.

Exemple 2 : le logarithme d'une puissance. \int x\ln(x^2)\,dx. On utilise \ln(x^2) = 2\ln x pour x > 0 :

2\int x\ln x\,dx = x^2\ln x - \frac{x^2}{2} + C

Exemple 3 : le cas n = −1. \int\frac{\ln x}{x}\,dx met la formule en défaut (elle diviserait par zéro). On pose plutôt u = \ln x, du = \frac{dx}{x} : \int u\,du = \frac{(\ln x)^2}{2} + C.

Exemple 4 : un logarithme au carré. \int x(\ln x)^2\,dx. Par parties avec u = (\ln x)^2, dv = x\,dx, on obtient \frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \int x\ln x\,dx, que vous connaissez maintenant :

\frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4} + C

Erreurs fréquentes

  1. Choisir u = x. Il faut alors \int\ln x\,dx pour trouver v, et l'intégrale restante est plus difficile que celle de départ.
  2. Oublier de simplifier \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}. Cela vaut \frac{x}{2}, qui s'intègre en \frac{x^2}{4}, et non \frac{x^2}{2}.
  3. Intégrer les facteurs séparément. \frac{x^2}{2}(x\ln x - x) n'est pas le résultat.
  4. Utiliser la formule générale avec n = -1. Voir l'exemple 3.

Pages associées : l'intégrale de ln x, l'intégrale de x eˣ et le guide de l'intégration par parties.

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Questions fréquentes

Quelle est l'intégrale de x ln x ?
C'est \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C, que l'on peut aussi écrire \frac{x^2}{4}(2\ln x - 1) + C.

Quelle est l'intégrale de x² ln x ?
C'est \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C. On intègre par parties avec u = \ln x et dv = x^2\,dx.

Combien vaut l'intégrale de x ln x entre 0 et 1 ?
Elle vaut -\frac{1}{4}. À la borne inférieure, \frac{x^2}{2}\ln x \to 0 quand x \to 0^+, il ne reste donc que -\frac{1}{4} venant de la borne supérieure.

Pourquoi choisir u = ln x et pas u = x ?
Avec u = x, il faudrait v = \int\ln x\,dx = x\ln x - x, et l'intégrale restante deviendrait plus compliquée. Avec u = \ln x, du = \frac{1}{x}dx simplifie une puissance de x et laisse une simple puissance à intégrer.

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