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Dérivées des fonctions trigonométriques réciproques

Dérivée de arcsec x : formule, démonstration et exemples

La dérivée de arcsec x est 1/(|x|√(x² − 1)). D'où vient la valeur absolue, démonstration via arccos(1/x) et exemples de dérivation en chaîne.

Dérivées des fonctions trigonométriques réciproques Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\frac{d}{dx}\,\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}
Dérivée
\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}} pour \lvert x\rvert > 1
Forme composée
\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcsec} u = \dfrac{u'}{\lvert u\rvert\sqrt{u^2 - 1}}
Domaine de définition de arcsec x
x \le -1 ou x \ge 1
Ensemble image de arcsec x
\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]
Dérivée de arccsc
-\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}
Sur cette page
  1. Courbe de arcsec x
  2. Démonstration avec arccos
  3. Version composée et exemples
  4. La dérivée de arccsc
  5. Erreurs fréquentes

La dérivée de \operatorname{arcsec} x est \dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}. Elle est définie pour \lvert x\rvert > 1, c'est-à-dire pour les valeurs que la sécante peut atteindre.

\frac{d}{dx}\,\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}, \qquad \lvert x\rvert > 1

Pour x > 1, où se situent la plupart des exercices, c'est simplement \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}.

Courbe de arcsec x

Courbe de y = arcsec x, tracée comme arccos(1/x)
Les deux morceaux de la fonction arcsécante sont croissants. Le morceau de droite part de (1, 0) et celui de gauche se termine en (-1, \pi). Les deux s'approchent de la droite y = \frac{\pi}{2}.

Les deux branches montent de gauche à droite, donc la dérivée est positive partout. C'est exactement pour cela que la formule contient \lvert x\rvert : sans la valeur absolue, elle donnerait des pentes négatives pour x < -1, ce qui ne correspond pas à la figure.

Démonstration avec arccos

L'ensemble image usuel de arcsec rend cette identité vraie :

\operatorname{arcsec} x = \arccos\frac{1}{x}

On dérive avec la règle de dérivation en chaîne et la dérivée de arccos x :

\frac{d}{dx}\arccos\frac{1}{x} = -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{x^2\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}

On simplifie ensuite la racine : \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\lvert x\rvert}. Donc

\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} x = \frac{\lvert x\rvert}{x^2\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}

en utilisant x^2 = \lvert x\rvert^2. La valeur absolue apparaît naturellement à partir de \sqrt{x^2} = \lvert x\rvert.

Version composée et exemples

\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} u = \frac{u'}{\lvert u\rvert\sqrt{u^2 - 1}}

Exemple 1. \frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(x^2) = \frac{2x}{x^2\sqrt{x^4 - 1}} = \frac{2}{x\sqrt{x^4 - 1}} pour \lvert x\rvert > 1. Ici, \lvert x^2\rvert = x^2, donc il ne reste aucune valeur absolue.

Exemple 2. Pour x > 0, \frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(e^x) = \frac{e^x}{e^x\sqrt{e^{2x} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{e^{2x} - 1}}.

Exemple 3 : la pente en un point. En x = 2, la pente de \operatorname{arcsec} x vaut \frac{1}{2\sqrt{3}} \approx 0.289. Comme \operatorname{arcsec} 2 = \frac{\pi}{3}, la tangente est y = \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2\sqrt{3}}(x - 2).

La dérivée de arccsc

Comme \operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2}, les dérivées sont opposées :

\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc} x = -\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}

Erreurs fréquentes

  1. Oublier la valeur absolue et obtenir ensuite des pentes négatives pour x < -1.
  2. Mélanger les conventions des manuels. Vérifiez quel ensemble image votre cours utilise pour arcsec avant de recopier une formule.
  3. Confondre \sec^{-1} x et \cos x. \sec^{-1} est la réciproque de la sécante, alors que \frac{1}{\sec x} = \cos x.
  4. L'utiliser pour -1 < x < 1. Aucun angle n'a une sécante comprise entre -1 et 1, donc arcsec et sa dérivée n'y existent pas.

La formule donne aussi une intégrale : \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}} = \operatorname{arcsec}\lvert x\rvert + C. Pour aller plus loin, voir les exercices sur les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques et les fonctions trigonométriques inverses.

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Questions fréquentes

Quelle est la dérivée de arcsec x ?
La dérivée de \operatorname{arcsec} x est \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}} pour \lvert x\rvert > 1. Pour x > 1, c'est simplement \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}.

Pourquoi certains manuels écrivent-ils x√(x² − 1) sans valeur absolue ?
Ces manuels choisissent un autre ensemble image pour arcsec, \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right). Avec ce choix, la formule est \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}. Avec l'ensemble image plus courant [0, \pi], il faut \lvert x\rvert.

Quelle est la dérivée de arccsc x ?
C'est -\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}, l'opposé de la dérivée de arcsec, car \operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2}.

Quelle est la dérivée de arcsec(2x) ?
Par la règle de dérivation en chaîne, c'est \frac{2}{\lvert 2x\rvert\sqrt{4x^2 - 1}} = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{4x^2 - 1}}, valable pour \lvert x\rvert > \frac{1}{2}.

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