Fonction tangente tan(x) : courbe, asymptotes, dérivée et primitive
La fonction tangente tan(x) = sin(x)/cos(x) : sa courbe, ses asymptotes verticales, sa période π, sa dérivée, sa primitive ln|sec x| + C et des exemples.
Fonctions trigonométriques Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- Domaine de définition
- x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi
- Ensemble image
- (-\infty, \infty)
- Dérivée
- \sec^2 x
- Primitive
- \ln\lvert\sec x\rvert + C
- Période
- \pi
- Asymptotes
- x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k entier
Sur cette page
La fonction tangente est le quotient \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}. Géométriquement, c'est la pente de la droite qui relie l'origine au point du cercle trigonométrique associé à l'angle x. Contrairement au sinus et au cosinus, elle n'est pas bornée et admet une asymptote verticale chaque fois que le cosinus s'annule.
Définition de tan x
Dans un triangle rectangle, c'est \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} (côté opposé sur côté adjacent). Comme la droite passant par l'origine avec l'angle x a pour pente \tan x, la tangente permet de convertir un angle en pente, et l'arc tangente reconvertit une pente en angle.
Courbe de y = tan x
Valeurs remarquables de la tangente
| x | -\frac{\pi}{3} | -\frac{\pi}{4} | 0 | \frac{\pi}{6} | \frac{\pi}{4} | \frac{\pi}{3} | \frac{\pi}{2} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \tan x | -\sqrt{3} | -1 | 0 | \frac{\sqrt{3}}{3} | 1 | \sqrt{3} | non définie |
Propriétés de la fonction tangente
- Domaine de définition. Tous les réels sauf x = \frac{\pi}{2} + k\pi.
- Ensemble image. Tous les réels.
- Période. \tan(x + \pi) = \tan x, donc la période est \pi, et non 2\pi.
- Zéros. \tan x = 0 en x = k\pi, les mêmes zéros que le sinus.
- Imparité. \tan(-x) = -\tan x.
- Toujours croissante. Sur chaque branche, la pente \sec^2 x vaut au moins 1, donc la courbe ne s'aplatit jamais.
- Limites à gauche et à droite. \lim_{x \to \pi/2^-}\tan x = \infty et \lim_{x \to \pi/2^+}\tan x = -\infty. Voir les limites à l'infini pour en savoir plus sur les asymptotes.
- Identité. 1 + \tan^2 x = \sec^2 x, obtenue en divisant \sin^2 x + \cos^2 x = 1 par \cos^2 x.
Dérivée de tan x
On applique la règle du quotient à \frac{\sin x}{\cos x} :
En x = 0, la pente vaut \sec^2 0 = 1, ce qui correspond à la courbe qui traverse l'origine avec un angle de 45 degrés.
Primitive de tan x
On écrit \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} et on pose u = \cos x, donc du = -\sin x\,dx :
Les deux formes sont égales car -\ln|\cos x| = \ln\frac{1}{|\cos x|}.
Exemples corrigés
Exemple 1 : règle de dérivation en chaîne. \frac{d}{dx}\tan(3x) = 3\sec^2(3x).
Exemple 2 : une puissance de la tangente. \frac{d}{dx}\tan^2 x = 2\tan x\sec^2 x.
Exemple 3 : une primitive grâce à l'identité. Comme \tan^2 x = \sec^2 x - 1,
Exemple 4 : une intégrale définie. \int_0^{\pi/4}\sec^2 x\,dx = \tan\frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1.
Erreurs fréquentes
- Croire que la période est 2\pi. La tangente se répète tous les \pi, car \sin et \cos changent tous deux de signe après un demi-tour et les signes se compensent.
- Écrire \int\tan x\,dx = \sec^2 x. C'est l'inverse : \sec^2 x est la dérivée. La primitive fait intervenir un logarithme.
- Oublier la valeur absolue. \ln|\cos x| a besoin des barres car \cos x est négatif sur certaines parties du domaine.
- Ignorer les asymptotes. On ne peut pas intégrer \tan x à travers x = \frac{\pi}{2} avec le théorème fondamental de l'analyse ; ce serait une intégrale impropre, et elle diverge.
Liens de la tangente avec d'autres notions
La tangente va de pair avec la sécante dans les dérivées et les primitives : ses cousines, la sécante, la cosécante et la cotangente, méritent d'être étudiées en même temps. Sa réciproque, l'arc tangente, est une primitive de \frac{1}{1+x^2}, et le changement de variable x = \tan\theta est un outil central du changement de variable trigonométrique. Pour retrouver les six dérivées trigonométriques au même endroit, lisez les dérivées des fonctions trigonométriques.
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