Théorèmes sur les séries et plusieurs variables
La formule de Taylor, les résultats de convergence et les grands théorèmes de l'analyse vectorielle.
Formule de Taylor
f(x) = P_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}
La formule de Taylor avec reste de Lagrange : à quel point un polynôme de Taylor approche f(x). Énoncé, majoration de l'erreur, exemples avec e et sin x.
Théorème de Schwarz (Clairaut)
f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)
Théorème de Schwarz (ou de Clairaut) : si f_xy et f_yx sont continues, elles sont égales. Énoncé, contre-exemple classique, graphique et exemples corrigés.
Formule de Green-Riemann
\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA
La formule de Green-Riemann transforme une intégrale curviligne sur une courbe fermée en intégrale double. Énoncé, hypothèses, aire et exemples.
Théorème de flux-divergence (Green-Ostrogradski)
\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV
Le théorème de flux-divergence : le flux sortant d'un champ à travers une surface fermée égale l'intégrale triple de sa divergence. Énoncé et exemples.
Théorème de Stokes
\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}
Le théorème de Stokes : la circulation d'un champ le long d'une courbe fermée est égale au flux de son rotationnel à travers une surface qu'elle borde.
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