Integral de uma constante e de 1: fórmula e exemplos
A integral de uma constante k é kx + C, e a integral de 1 é x + C. Veja por quê, a interpretação como área, integrais definidas e os erros a evitar.
Potências, raízes e funções racionais Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Primitiva
- kx + C
- Integral de 1
- \int 1\,dx = x + C
- Integral de 0
- \int 0\,dx = C
- Integral definida
- \int_a^b k\,dx = k(b - a)
- Verificação
- \dfrac{d}{dx}(kx + C) = k
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A integral de uma constante k é kx + C. Em particular, a integral de 1 é x + C. É a integral mais simples do cálculo, e quase todas as outras integrais a usam em algum momento, geralmente no último termo de um polinômio.
Gráfico: uma constante gera um retângulo
A área sob uma reta horizontal é sempre um retângulo. Sua altura é k e sua largura é o quanto x avançou, então a área acumulada cresce como kx. A fórmula inteira cabe nessa figura.
Por que a integral de k é kx + C
Uma integral pergunta: qual função tem esta derivada? Queremos uma função cuja inclinação seja k em todo ponto. Uma reta de inclinação k faz exatamente isso:
Somar qualquer constante C desloca a reta para cima ou para baixo sem mudar sua inclinação, então toda função kx + C serve. Também dá para ver isso como a regra da potência inversa com n = 0: como k = kx^0,
Verificação por derivação
Sempre confira uma primitiva calculando sua derivada:
A página correspondente de derivadas é a derivada de uma constante, que faz o mesmo raciocínio no sentido contrário: a derivada de qualquer constante é 0.
Integrais definidas de uma constante
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Se k for negativo, o retângulo fica abaixo do eixo e o resultado é negativo. Por exemplo, \int_0^4 (-2)\,dx = -8.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1. \int 7\,dx = 7x + C.
Exemplo 2: constantes que parecem variáveis. Qualquer número sem x conta como constante, mesmo que seja escrito com um símbolo:
Exemplo 3: dentro de um polinômio. Usando as propriedades de linearidade:
O 9 vira 9x. Veja a integral de x e a integral de x² para os outros dois termos.
Exemplo 4: outra variável. \int 3\,dt = 3t + C. A variável da resposta é a mesma de dt.
Exemplo 5: uma integral definida. \int_{-1}^{4} 3\,dx = 3\big(4 - (-1)\big) = 15.
Erros comuns
- Integrar uma constante e obter 0. Essa é a regra da derivada. A integração vai no sentido oposto: \int 5\,dx = 5x + C, e não 0.
- Escrever 5 + C. A resposta precisa conter x. Confira: a derivada de 5 + C é 0, e não 5.
- Esquecer o + C. Sem ele você tem apenas uma primitiva, e não todas.
- Tratar e^2 ou \pi^2 como potência de x. São apenas números. \int e^2\,dx é e^2x + C, e não \frac{e^3}{3}.
Quer praticar mais? Tente os exercícios de primitivas ou leia o guia sobre antiderivadas.
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