Integral einer Konstanten und von 1: Formel und Beispiele

Das Integral einer Konstanten k ist kx + C. Insbesondere ist das Integral von 1 gleich x + C. Es ist das einfachste Integral der Analysis, und fast jedes andere Integral greift irgendwo darauf zurück, meist beim letzten Glied eines Polynoms.

Graph: Eine Konstante ergibt ein Rechteck

Die Fläche unter einer waagerechten Geraden ist immer ein Rechteck. Seine Höhe ist k und seine Breite ist die Strecke, um die sich x bewegt hat, also wächst die aufsummierte Fläche wie kx. Das ist die ganze Formel in einem Bild.

Warum das Integral von k gleich kx + C ist

Ein Integral fragt: Welche Funktion hat diese Ableitung? Gesucht ist eine Funktion, deren Steigung überall k ist. Genau das leistet eine Gerade mit der Steigung k:

Eine beliebige Konstante C verschiebt die Gerade nach oben oder unten, ohne ihre Steigung zu ändern, also funktioniert jede Funktion kx + C. Du kannst es auch als Potenzregel für Integrale mit n = 0 sehen: Wegen k = kx^0 gilt

Probe durch Ableiten

Überprüfe eine Stammfunktion immer, indem du sie ableitest:

Die passende Seite zur Ableitung ist die Ableitung einer Konstanten, die denselben Gedanken rückwärts beschreibt: Die Ableitung jeder Konstanten ist 0.

Bestimmte Integrale einer Konstanten

Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

Ist k negativ, liegt das Rechteck unterhalb der Achse und das Ergebnis ist negativ. Zum Beispiel ist \int_0^4 (-2)\,dx = -8.

Rechenbeispiele

Beispiel 1. \int 7\,dx = 7x + C.

Beispiel 2: Konstanten, die wie Variablen aussehen. Jede Zahl ohne x zählt als Konstante, auch wenn sie mit einem Symbol geschrieben wird:

Beispiel 3: innerhalb eines Polynoms. Mit der Linearität des Integrals:

Aus der 9 wird 9x. Die beiden anderen Summanden findest du beim Integral von x und beim Integral von x².

Beispiel 4: eine andere Variable. \int 3\,dt = 3t + C. Die Variable im Ergebnis passt zur Variablen in dt.

Beispiel 5: ein bestimmtes Integral. \int_{-1}^{4} 3\,dx = 3\big(4 - (-1)\big) = 15.

Häufige Fehler

1. Eine Konstante zu 0 integrieren. Das ist die Ableitungsregel. Integrieren geht in die andere Richtung: \int 5\,dx = 5x + C, nicht 0.
2. 5 + C schreiben. Das Ergebnis muss x enthalten. Probe: Die Ableitung von 5 + C ist 0, nicht 5.
3. + C vergessen. Ohne die Integrationskonstante hast du nur eine Stammfunktion, nicht alle.
4. e^2 oder \pi^2 als Potenz von x behandeln. Das sind ganz normale Zahlen. \int e^2\,dx ist e^2x + C, nicht \frac{e^3}{3}.

Lust auf mehr Übung? Probier die Übungsaufgaben zu Stammfunktionen oder lies den Leitfaden zu Stammfunktionen.