Intégrale d'une constante et de 1 : formule et exemples

L'intégrale d'une constante k est kx + C. En particulier, l'intégrale de 1 est x + C. C'est l'intégrale la plus simple de l'analyse, et presque toutes les autres intégrales l'utilisent quelque part, en général pour le dernier terme d'un polynôme.

Graphique : une constante donne un rectangle

L'aire sous une droite horizontale est toujours un rectangle. Sa hauteur est k et sa largeur est la distance parcourue par x, donc l'aire accumulée croît comme kx. Toute la formule tient dans ce dessin.

Pourquoi l'intégrale de k vaut kx + C

Une intégrale pose la question : quelle fonction a cette dérivée ? On cherche une fonction dont la pente vaut k partout. Une droite de pente k fait exactement cela :

Ajouter une constante C déplace la droite vers le haut ou vers le bas sans changer sa pente, donc toutes les fonctions kx + C conviennent. On peut aussi y voir la règle de la puissance inverse avec n = 0 : comme k = kx^0,

Vérification par dérivation

Vérifiez toujours une primitive en la dérivant :

La page correspondante côté dérivées est la dérivée d'une constante, qui fait le même raisonnement dans l'autre sens : la dérivée de toute constante est 0.

Intégrales définies d'une constante

Avec le théorème fondamental de l'analyse :

Si k est négatif, le rectangle est sous l'axe et le résultat est négatif. Par exemple, \int_0^4 (-2)\,dx = -8.

Exemples corrigés

Exemple 1. \int 7\,dx = 7x + C.

Exemple 2 : des constantes qui ressemblent à des variables. Tout nombre sans x est une constante, même s'il est écrit avec un symbole :

Exemple 3 : dans un polynôme. Avec les règles de linéarité :

Le 9 devient 9x. Voir l'intégrale de x et l'intégrale de x² pour les deux autres termes.

Exemple 4 : une autre variable. \int 3\,dt = 3t + C. La variable du résultat est celle qui apparaît dans dt.

Exemple 5 : une intégrale définie. \int_{-1}^{4} 3\,dx = 3\big(4 - (-1)\big) = 15.

Erreurs fréquentes

1. Intégrer une constante en 0. C'est la règle de dérivation. L'intégration va dans l'autre sens : \int 5\,dx = 5x + C, et non 0.
2. Écrire 5 + C. Le résultat doit contenir x. Vérification : la dérivée de 5 + C est 0, pas 5.
3. Oublier le + C. Sans lui, on n'a qu'une seule primitive, pas toutes.
4. Traiter e^2 ou \pi^2 comme une puissance de x. Ce sont de simples nombres. \int e^2\,dx vaut e^2x + C, et non \frac{e^3}{3}.

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