Análise Matemática I NOVA FCT (11504): programa, guia e exercícios

Análise Matemática I (11504) é a unidade curricular de cálculo de uma variável da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade NOVA de Lisboa (NOVA FCT). Segundo o Guia de Cursos 2024-2025, vale 6 ECTS, tem 5 horas semanais (70 horas de contacto) e é lecionada em cursos como Engenharia e Gestão Industrial e Engenharia Física. Este guia liga cada tema do programa a exercícios com correção imediata.

O que Análise Matemática I cobre

O programa oficial tem cinco capítulos. O primeiro trata de topologia elementar da reta real, do princípio de indução matemática e de sucessões: convergência, subsucessões e o teorema de Bolzano-Weierstrass.

O segundo é de limites e continuidade: limite segundo Cauchy e segundo Heine, continuidade, teorema do valor intermédio, continuidade das funções inversas de bijeções e teorema de Weierstrass (uma função contínua num intervalo fechado e limitado tem máximo e mínimo).

O terceiro é de diferenciabilidade: os teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy, o cálculo prático de limites (onde entra a regra de L'Hôpital) e o teorema de Taylor com aplicações.

O quarto é de primitivação: por partes, por substituição e de funções racionais. O quinto é a integração de Riemann: os teoremas fundamentais, integração por partes e por substituição, aplicações e integrais impróprios.

Em termos internacionais, AM I cobre um Calculus 1 completo, com técnicas de primitivação e integrais impróprios que costumam aparecer no Calculus 2, e um tratamento mais rigoroso dos fundamentos.

Mapa de temas de Análise Matemática I

Exemplos de exercícios ao nível de AM I

1. Limite de uma sucessão. \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{2}{n}\right)^n = e^2, pelo limite notável \left(1 + \frac{a}{n}\right)^n \to e^a.

2. Teorema de Lagrange. Para x > 0, aplicando Lagrange a \ln em [1, 1 + x]: \ln(1 + x) = \frac{x}{c} com 1 < c < 1 + x, logo \frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x.

3. Primitiva de função racional.

Como ter sucesso em AM I

• Acompanha as demonstrações. Rolle, Lagrange, Cauchy e Bolzano-Weierstrass aparecem como teoria, não só como ferramenta.
• Treina primitivas todas as semanas na prática; por partes e frações parciais são as que mais pesam.
• Consulta o formulário para primitivas imediatas e derivadas.
• Revê os erros comuns de cálculo antes de cada teste.

Dica: a definição de limite segundo Heine é muito útil para provar que um limite não existe: basta encontrar duas sucessões que tendem para o mesmo ponto e cujas imagens tendem para valores diferentes.