Derivada de arcsen x: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de arcsen x es 1/√(1 − x²). Demostración a partir de sen y = x, la forma con la regla de la cadena para arcsen(u), gráfica y ejemplos resueltos.
Derivadas de trigonométricas inversas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} para -1 < x < 1
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}\arcsin u = \dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}
- Dominio de arcsen x
- [-1, 1]
- Recorrido de arcsen x
- \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
- Versión para integrales
- \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = \arcsin x + C
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La derivada de \arcsin x es \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}. Es válida en el intervalo abierto -1 < x < 1, donde el arcoseno es suave.
Gráfica de arcsen x y de su derivada
La derivada nunca es negativa, así que \arcsin x siempre sube. Su pendiente mínima es 1 en el origen, y la curva se vuelve vertical en los extremos (\pm 1, \pm\frac{\pi}{2}).
Demostración de la derivada de arcsen x
Sea y = \arcsin x. Entonces \sin y = x con -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}. Deriva ambos lados con derivación implícita:
Ahora escribe \cos y en función de x. De \sin^2 y + \cos^2 y = 1 se obtiene \cos y = \pm\sqrt{1 - x^2}. En \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] el coseno nunca es negativo, así que tomamos la raíz positiva:
La misma idea funciona con cualquier función inversa; consulta la regla de la función inversa.
Versión con la regla de la cadena: derivada de arcsen(u)
Con la regla de la cadena, pon la derivada del interior en el numerador:
| Función | Interior u | Derivada |
|---|---|---|
| \arcsin(2x) | 2x | \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}} |
| \arcsin(x^2) | x^2 | \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}} |
| \arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right), a > 0 | \frac{x}{a} | \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} |
| \arcsin(e^x) | e^x | \frac{e^x}{\sqrt{1 - e^{2x}}} |
Vale la pena recordar la tercera fila. Es la razón por la que \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: un producto. Deriva f(x) = x\arcsin x con la regla del producto:
Ejemplo 2: la pendiente en un punto. La pendiente de y = \arcsin x en x = \frac{1}{2} es
Ejemplo 3: una potencia de arcsen. Para g(x) = (\arcsin x)^2 la función exterior es un cuadrado:
Errores comunes
- Leer \sin^{-1} x como \frac{1}{\sin x}. El -1 significa función inversa, no recíproco.
- Olvidar la derivada del interior. \frac{d}{dx}\arcsin(3x) es \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}, no \frac{1}{\sqrt{1 - 9x^2}}.
- Elevar al cuadrado solo x en la regla de la cadena. Dentro de la raíz necesitas 1 - u^2, así que \arcsin(x^2) da \sqrt{1 - x^4}, no \sqrt{1 - x^2}.
- Confundir el signo con arccos. La derivada de arccos x es la misma expresión con un signo menos.
En sentido inverso, la integral de 1/√(1 − x²) es \arcsin x + C, y la integral de arcsen x se calcula por partes. Practica más con ejercicios de derivadas de trigonométricas inversas o lee sobre la función arcoseno.
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