Ableitung von arcsin x: Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von arcsin x ist 1/√(1 − x²). Mit Beweis aus sin y = x, der Kettenregel für arcsin(u), einem Graphen und ausführlichen Rechenbeispielen.
Ableitungen der Arkusfunktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} für -1 < x < 1
- Mit Kettenregel
- \dfrac{d}{dx}\arcsin u = \dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}
- Definitionsbereich von arcsin x
- [-1, 1]
- Wertebereich von arcsin x
- \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
- Als Integral
- \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = \arcsin x + C
Auf dieser Seite
Die Ableitung von \arcsin x ist \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}. Sie gilt auf dem offenen Intervall -1 < x < 1, wo der Arkussinus glatt verläuft.
Graph von arcsin x und seiner Ableitung
Die Ableitung ist nie negativ, also steigt \arcsin x immer. Die kleinste Steigung ist 1 im Ursprung, und an den Randpunkten (\pm 1, \pm\frac{\pi}{2}) verläuft die Kurve senkrecht.
Beweis der Ableitung von arcsin x
Sei y = \arcsin x. Dann gilt \sin y = x mit -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}. Leite beide Seiten mit implizitem Differenzieren ab:
Jetzt drückst du \cos y durch x aus. Aus \sin^2 y + \cos^2 y = 1 folgt \cos y = \pm\sqrt{1 - x^2}. Auf \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] ist der Kosinus nie negativ, also nimmst du die positive Wurzel:
Dieselbe Idee funktioniert für jede Umkehrfunktion, siehe die Ableitung der Umkehrfunktion.
Mit der Kettenregel: Ableitung von arcsin(u)
Mit der Kettenregel kommt die innere Ableitung in den Zähler:
| Funktion | Innere Funktion u | Ableitung |
|---|---|---|
| \arcsin(2x) | 2x | \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}} |
| \arcsin(x^2) | x^2 | \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}} |
| \arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right), a > 0 | \frac{x}{a} | \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} |
| \arcsin(e^x) | e^x | \frac{e^x}{\sqrt{1 - e^{2x}}} |
Die dritte Zeile solltest du dir merken. Aus ihr folgt \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: ein Produkt. Leite f(x) = x\arcsin x mit der Produktregel ab:
Beispiel 2: Steigung an einer Stelle. Die Steigung von y = \arcsin x bei x = \frac{1}{2} ist
Beispiel 3: eine Potenz von arcsin. Bei g(x) = (\arcsin x)^2 ist die äußere Funktion ein Quadrat:
Typische Fehler
- \sin^{-1} x als \frac{1}{\sin x} lesen. Die -1 steht für die Umkehrfunktion, nicht für den Kehrwert.
- Die innere Ableitung vergessen. \frac{d}{dx}\arcsin(3x) ist \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}, nicht \frac{1}{\sqrt{1 - 9x^2}}.
- Bei der Kettenregel nur x quadrieren. Unter der Wurzel brauchst du 1 - u^2, also ergibt \arcsin(x^2) den Ausdruck \sqrt{1 - x^4}, nicht \sqrt{1 - x^2}.
- Das Vorzeichen mit arccos verwechseln. Die Ableitung von arccos x ist derselbe Ausdruck mit Minuszeichen.
Umgekehrt ist das Integral von 1/√(1 − x²) gleich \arcsin x + C, und für das Integral von arcsin x brauchst du partielle Integration. Übe weiter mit Aufgaben zu Ableitungen der Arkusfunktionen oder lies mehr über den Arkussinus.
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