Ableitung von sin(x²): Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von sin(x²) ist 2x cos(x²). Mit der Kettenregel Schritt für Schritt, dem Unterschied zu sin²x, der zweiten Ableitung und Rechenbeispielen.
Ableitungen trigonometrischer Funktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- 2x\cos(x^2)
- Äußere und innere Funktion
- Äußere \sin u, innere u = x^2
- Zweite Ableitung
- 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)
- Nicht zu verwechseln mit
- \sin^2 x, dessen Ableitung \sin 2x ist
- Integral
- \int\sin(x^2)\,dx hat keine elementare Stammfunktion
Auf dieser Seite
Die Ableitung von \sin(x^2) ist 2x\cos(x^2). Das ist eine klassische Aufgabe zur Kettenregel: Der Sinus steht außen, x^2 innen.
Graph von sin(x²) und seiner Ableitung
Anders als \sin x ist diese Funktion nicht periodisch. Sie wird schneller, je weiter du dich von 0 entfernst, und die Ableitung wächst ungefähr wie 2x.
Beweis mit der Kettenregel
Setze u = x^2, also y = \sin u. Dann gilt
Multipliziere:
Die innere Funktion x^2 wird unverändert in den Kosinus übernommen. Ihre Ableitung 2x kommt nach vorne. Die beiden Zutaten sind die Ableitung von sin x und die Ableitung von x².
sin(x²) im Vergleich zu sin²x
Diese beiden werden leicht verwechselt und haben verschiedene Ableitungen:
| Funktion | Bedeutung | Ableitung |
|---|---|---|
| \sin(x^2) | Sinus von x^2 | 2x\cos(x^2) |
| \sin^2 x | (\sin x)^2 | 2\sin x\cos x = \sin 2x |
| \sin 2x | Sinus von 2x | 2\cos 2x |
Bei x = 1 zum Beispiel ist \sin(1) \approx 0.841, aber \sin^2(1) \approx 0.708. Siehe die Ableitung von sin²x und die Ableitung von sin 2x.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: eine Konstante im Inneren. \frac{d}{dx}\sin(3x^2) = \cos(3x^2)\cdot 6x = 6x\cos(3x^2).
Beispiel 2: ein Wert. Bei x = \sqrt{\pi} ist x^2 = \pi und \cos\pi = -1, die Steigung ist also 2\sqrt{\pi}\cdot(-1) = -2\sqrt{\pi} \approx -3.54.
Beispiel 3: ein Produkt. Mit der Produktregel:
Beispiel 4: zweite Ableitung. Leite 2x\cos(x^2) mit der Produktregel ab:
Beispiel 5: andere Potenzen. \frac{d}{dx}\sin(x^3) = 3x^2\cos(x^3) und \frac{d}{dx}\cos(x^2) = -2x\sin(x^2).
Äußere und innere Funktion erkennen
Das Schwierigste an dieser Aufgabe ist, sie richtig zu lesen. Frag dich, welche Rechenoperation du zuletzt ausführen würdest, wenn du eine Zahl einsetzt. Bei \sin(x^2) mit x = 3 quadrierst du zuerst und erhältst 9, dann nimmst du den Sinus. Der letzte Schritt, der Sinus, ist die äußere Funktion. Der erste Schritt, das Quadrieren, ist die innere. Diese Reihenfolge sagt dir genau, wie du die Kettenregel anwendest. Derselbe Test funktioniert bei jeder Verkettung: Was zuletzt passiert, wird zuerst abgeleitet, und der Rest wird als innere Ableitung dazumultipliziert.
Typische Fehler
- Das 2x weglassen. \cos(x^2) allein ist nur die äußere Ableitung.
- Die innere Funktion verändern. Wer 2x\cos x oder \cos 2x schreibt, verliert das x^2.
- Es als \sin^2 x lesen. Prüfe die Klammern, bevor du anfängst.
Die Kettenregel rückwärts angewendet ist die Substitutionsregel: \int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C. Übe weiter mit den Aufgaben zur Kettenregel.
Jetzt üben
Kettenregel: Trigonometrie
Löse echte Aufgaben zu diesem Thema mit sofortigem Feedback, Tipps und einem Schritt-für-Schritt-Lösungsweg zu jeder Antwort. Kostenlos, ohne Registrierung.
Diese Lektion üben