Analyse S1 Université de Strasbourg : programme, guide et exercices

Analyse S1 est le premier cours d'analyse de la licence de mathématiques de l'Université de Strasbourg, dans l'UE Mathématiques S1 de l'UFR de mathématique et d'informatique. Il est centré sur le calcul : connaître les fonctions usuelles, calculer des limites et des primitives, résoudre des équations différentielles simples. Ce guide relie chaque point du programme à des exercices interactifs, avec une correction immédiate.

Ce que couvre Analyse S1

D'après la fiche officielle du cours, Analyse S1 vise à développer les premières connaissances en analyse. Le programme comprend :

• les fonctions hyperboliques (\cosh, \sinh, \tanh) et trigonométriques réciproques (\arcsin, \arccos, \arctan) ;
• le calcul de limites : opérations, croissances comparées, taux d'accroissement, équivalence et négligeabilité ;
• l'étude complète de fonctions : variations, convexité, asymptotes ;
• le calcul de primitives à l'aide des fonctions usuelles, du changement de variable et de l'intégration par parties, y compris pour les fractions rationnelles, les polynômes trigonométriques et les produits exponentielle-polynôme ;
• les équations différentielles linéaires d'ordre 1 (y compris à coefficients variables, par variation de la constante) et d'ordre 2 à coefficients constants, avec un second membre de type polynôme fois exponentielle.

En termes nord-américains, c'est un Calcul 1 complet côté méthodes (limites, dérivées, primitives), avec en plus une initiation aux équations différentielles.

Plan des notions d'Analyse S1

Le parcours d'analyse en licence à Strasbourg

Voir les guides de l'UE Analyse S2 et de l'UE Analyse S3.

Exemples d'exercices au niveau d'Analyse S1

1. Une limite par équivalent. Comme \sin x \sim x et e^x - 1 \sim x en 0 :

2. Primitive par parties.

3. Équation d'ordre 1 avec second membre. Pour y' - 2y = e^{2x}, la solution homogène est Ce^{2x}. La variation de la constante donne C'(x) = 1, d'où

Comment réussir Analyse S1

• Connaissez les fonctions usuelles par cœur : domaine, dérivée, limites, graphe, y compris \cosh, \sinh et \arctan. Le formulaire les regroupe.
• Entraînez-vous aux primitives jusqu'à reconnaître la technique adaptée au premier regard, avec la leçon Choisir une stratégie.
• Pratiquez un peu chaque jour avec nos exercices, qui génèrent de nouveaux énoncés à chaque essai.
• Évitez les pièges de calcul recensés dans les erreurs fréquentes en calcul.

Astuce : pour y' + a y = P(x)e^{\lambda x}, cherchez une solution particulière de la forme Q(x)e^{\lambda x}, avec Q de même degré que P (un degré de plus si \lambda = -a).