Analyse S2 Université de Strasbourg : programme, guide et exercices

Analyse S2 est l'UE d'analyse du second semestre de la licence de mathématiques de l'Université de Strasbourg. Elle se compose de deux cours de 48 h chacun, Suites et continuité puis Dérivation et intégration, qui transforment les méthodes de calcul d'Analyse S1 en théorie rigoureuse. Ce guide relie chaque notion à des exercices interactifs, pour garder l'intuition vivante pendant qu'on apprend les preuves.

Ce que couvre Analyse S2

Suites et continuité. D'après la fiche officielle, ce cours pose les bases rigoureuses de l'analyse. Il traite les propriétés de \mathbb{R} (ordre, valeur absolue, propriété d'Archimède, partie entière, densité de \mathbb{Q}, bornes supérieure et inférieure), les suites (théorèmes opératoires, suites monotones, suites extraites, Bolzano-Weierstrass, suites itératives u_{n+1} = f(u_n)), les limites et la continuité (valeurs intermédiaires, théorème des bornes, bijection monotone) et l'analyse asymptotique (notations de Landau, équivalents, croissances comparées).

Dérivation et intégration. Ce cours présente les grands théorèmes de l'analyse réelle : Rolle et accroissements finis, classes de fonctions, convexité et inégalités de convexité ; la construction de l'intégrale des fonctions continues par morceaux, le théorème fondamental et la construction du logarithme et de l'exponentielle ; enfin les formules de Taylor-Young, de Lagrange et avec reste intégral, et les développements limités.

En termes nord-américains, l'UE couvre la théorie de Calcul 1 (limites, continuité, dérivées, intégrale) et la partie Taylor de Calcul 2, au niveau d'un premier cours de real analysis.

Plan des notions d'Analyse S2

Analyse S2 entre Analyse S1 et Analyse S3

Voir les guides d'Analyse S1 et d'Analyse S3.

Exemples d'exercices au niveau d'Analyse S2

1. Borne supérieure. Soit A = \{ x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2 \}. L'ensemble est majoré par 2, et par densité de \mathbb{Q} dans \mathbb{R}, on montre que \sup A = \sqrt{2}, qui n'appartient pas à \mathbb{Q}.

2. Suite itérative. Soit u_0 = 1 et u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}. On montre par récurrence que 1 \leq u_n \leq 2 et que la suite est croissante ; elle converge donc vers une limite \ell vérifiant \ell = \sqrt{2 + \ell}, soit \ell = 2.

3. Inégalité de convexité. La fonction \exp est convexe, donc son graphe est au-dessus de sa tangente en 0 :

Comment réussir Analyse S2

• Écrivez les définitions quantifiées de limite et de continuité jusqu'à les connaître parfaitement : elles reviennent dans presque chaque exercice.
• Gardez l'intuition par la pratique. Avant une preuve, testez l'énoncé sur des exemples avec nos exercices.
• Maîtrisez les DL usuels, outil principal du second cours, avec le formulaire.
• Cherchez des contre-exemples quand une hypothèse manque, et relisez les erreurs fréquentes en calcul.

Astuce : pour une suite u_{n+1} = f(u_n) avec f croissante, la suite est monotone ; il suffit de comparer u_0 et u_1 pour connaître son sens de variation.