Analyse S3 Université de Strasbourg : programme, guide et exercices

Analyse S3 est l'UE d'analyse du troisième semestre de la licence de mathématiques de l'Université de Strasbourg. Elle ouvre deux chantiers à la fois : le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables, et la convergence des séries et des intégrales généralisées. Ce guide relie chaque notion à des exercices interactifs, avec une correction immédiate.

Ce que couvre Analyse S3

Continuité et différentiabilité en dimension finie. Selon la fiche officielle, ce cours commence par la topologie métrique de \mathbb{R}^n : espaces vectoriels normés, normes usuelles, ouverts, fermés, compacts, connexes par arcs, suites et complétude. Il traite ensuite la continuité (surtout en 2 et 3 variables), puis la différentiabilité : dérivées directionnelles, gradient, différentielle et sa matrice, inégalité des accroissements finis, classes C^n, théorème de Schwarz, formule de Taylor à deux variables, extremums locaux et premiers exemples d'extremums liés.

Intégrales généralisées et séries numériques. Ce cours étudie l'échelle de Riemann, la convergence absolue et les critères de Cauchy et de d'Alembert, les séries alternées avec le test de Dirichlet et la sommation par parties, et les réarrangements (théorème de Riemann). Côté intégrales : convergence absolue, critère d'Abel, comparaison série-intégrale et intégrales à paramètres, avec l'exemple de la fonction Gamma.

En termes nord-américains, l'UE combine la partie dérivées partielles d'un Calcul 3 et la partie séries et intégrales impropres d'un Calcul 2, avec la rigueur d'un cours d'analyse.

Plan des notions d'Analyse S3

Analyse S3 dans le parcours

Voir les guides d'Analyse S1 et d'Analyse S2.

Exemples d'exercices au niveau d'Analyse S3

1. Gradient et dérivée directionnelle. Pour f(x, y) = x^2 y, on a \nabla f(x, y) = (2xy,\ x^2). Au point (1, 2), dans la direction unitaire u = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) :

2. Point critique. Pour f(x, y) = x^2 + xy + y^2, le gradient s'annule seulement en (0, 0). La hessienne \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} a un déterminant 3 > 0 et une trace positive : c'est un minimum local (et global).

3. Fonction Gamma. L'intégrale \Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x - 1} e^{-t}\,dt converge pour x > 0. Par intégration par parties, \Gamma(x + 1) = x\,\Gamma(x), et comme \Gamma(1) = 1, on obtient \Gamma(n + 1) = n!.

Comment réussir Analyse S3

• Calculez beaucoup de dérivées partielles. C'est le geste de base du calcul différentiel ; il devient automatique avec la pratique sur nos exercices.
• Visualisez en dimension 2 : dessinez ouverts, boules et courbes de niveau avant de raisonner en dimension n.
• Ayez une méthode fixe pour la convergence : échelle de Riemann, équivalents, d'Alembert, puis Abel ou Dirichlet pour les cas semi-convergents. La leçon Choisir un critère aide.
• Gardez le formulaire à portée de main et relisez les erreurs fréquentes en calcul.

Astuce : une fonction peut avoir des dérivées partielles en un point sans y être différentiable, ni même continue. L'exemple classique f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} (prolongée par 0) mérite d'être retenu.