Intégrale de 1/(x ln x) : formule, méthode et exemples

L'intégrale de \dfrac{1}{x\ln x} est \ln\lvert\ln x\rvert + C. C'est l'exemple type d'un changement de variable caché sous nos yeux : le \frac{1}{x} est la dérivée du \ln x placé à côté.

La fonction est définie pour x > 0 avec x \ne 1, car \ln 1 = 0 annulerait le dénominateur.

Graphique de 1/(x ln x)

Comment intégrer 1/(x ln x) pas à pas

1. Repérer le couple. On écrit la fonction \frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}. Le second facteur est la dérivée de \ln x.
2. Changer de variable. On pose u = \ln x, donc du = \frac{1}{x}\,dx : \int\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int\frac{1}{u}\,du
3. Intégrer. \int\frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C, d'après l'intégrale de 1/x.
4. Revenir à la variable de départ. \ln\lvert\ln x\rvert + C.

La valeur absolue compte sur 0 < x < 1, où \ln x est négatif. Pour x > 1, on peut l'enlever et écrire \ln(\ln x).

C'est le changement de variable en action. Dès que vous voyez \frac{1}{x} multiplié par une fonction de \ln x, essayez u = \ln x.

Vérification par dérivation

On applique deux fois la règle de dérivation en chaîne :

Intégrales définies et impropres

De e à e² : \ln(\ln e^2) - \ln(\ln e) = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2.

De e à e^e : \ln(e) - \ln(1) = 1. Chaque intervalle de la forme [e^{a}, e^{ea}] ajoute la même aire, 1.

De 2 à ∞ : cette intégrale impropre diverge.

La croissance est d'une lenteur extrême. Même en b = 10^{100}, \ln(\ln b) \approx \ln 230.3 \approx 5.44. Une calculatrice ne vous convaincrait jamais de la divergence, mais la primitive la démontre.

Le critère de comparaison série-intégrale. Comme cette intégrale diverge, le critère de comparaison série-intégrale montre que la série \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln n} diverge aussi, bien que ses termes décroissent plus vite que \frac{1}{n}.

Exemples corrigés

Exemple 1 : un logarithme au carré. \displaystyle\int_2^\infty\frac{dx}{x(\ln x)^2}. Avec u = \ln x, la primitive est -\frac{1}{\ln x} :

Celle-ci converge. Une puissance de \ln x en plus suffit.

Exemple 2 : le logarithme au numérateur. \displaystyle\int\frac{\ln x}{x}\,dx = \int u\,du = \frac{(\ln x)^2}{2} + C.

Exemple 3 : une puissance du logarithme. \displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{\ln x}} = \int u^{-1/2}\,du = 2\sqrt{\ln x} + C, pour x > 1.

Exemple 4 : une constante à l'intérieur. \displaystyle\int\frac{dx}{x\ln(5x)}. Ici aussi \frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{1}{x}, donc le résultat est \ln\lvert\ln(5x)\rvert + C.

Exemple 5 : une couche de plus. \displaystyle\int\frac{dx}{x\ln x\,\ln(\ln x)} = \ln\lvert\ln(\ln x)\rvert + C, avec u = \ln(\ln x).

Erreurs fréquentes

1. Séparer en \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln x} et intégrer chaque facteur. On ne peut pas intégrer un produit facteur par facteur. \ln x\cdot\ln\lvert\ln x\rvert est faux.
2. Intégrer par parties. C'est possible mais ne mène à rien d'utile. Le changement de variable conclut en une ligne.
3. Écrire \ln\lvert x\ln x\rvert. C'est la primitive de \frac{\ln x + 1}{x\ln x}, pas de \frac{1}{x\ln x}.
4. Intégrer à travers x = 1. La fonction y tend vers l'infini, donc \int_{1/2}^{2}\frac{dx}{x\ln x} n'est pas une intégrale ordinaire.

L'intégrale de ln x et l'intégrale de x ln x traitent les autres intégrales logarithmiques courantes. Pour plus de détails sur ce type de changement de variable, voir le guide du changement de variable et les exercices sur le changement de variable.