Intégrale de eˣ : formule, méthode et exemples

L'intégrale de e^x est e^x + C. L'exponentielle est la seule fonction (à un facteur près) qui soit sa propre dérivée, elle est donc aussi sa propre primitive.

Graphique de eˣ avec l'aire de 0 à 1

Pourquoi l'intégrale de eˣ vaut eˣ

Une primitive de f est toute fonction dont la dérivée est f. La dérivée de eˣ est e^x, donc e^x convient :

C'est toute la démonstration. Le + C est là parce que toute constante a une dérivée nulle, donc e^x + 5 et e^x - 2 sont aussi des primitives. Le guide des primitives explique pourquoi toutes les primitives ont cette forme.

Pas à pas : intégrales construites à partir de eˣ

1. Sortir les constantes. \int 4e^x\,dx = 4e^x + C, par la règle du facteur constant.
2. Séparer les sommes. \int (e^x + x^2)\,dx = e^x + \frac{x^3}{3} + C.
3. Réécrire les exposants décalés. e^{x+2} = e^2\cdot e^x, donc \int e^{x+2}\,dx = e^{x+2} + C.
4. Diviser par la pente de l'intérieur. Si l'exposant est kx + b, le résultat est \frac{1}{k}e^{kx+b} + C. La page intégrale de e²ˣ détaille ce cas.

Vérification par dérivation

Pour \frac{1}{k}e^{kx+b}, la règle de dérivation en chaîne donne \frac{1}{k}\cdot e^{kx+b}\cdot k = e^{kx+b}. Le facteur \frac{1}{k} compense exactement le k de la dérivation en chaîne.

Intégrales définies et impropres

D'après le théorème fondamental de l'analyse, \int_a^b e^x\,dx = e^b - e^a.

La dernière est une intégrale impropre. La queue gauche de e^x s'étend à l'infini, mais elle décroît si vite que son aire totale vaut exactement 1.

Exemples corrigés

Exemple 1 : une somme. \displaystyle\int (3e^x - 2x)\,dx = 3e^x - x^2 + C.

Exemple 2 : e dans la base et dans l'exposant. \displaystyle\int e^{x}e^{2}\,dx = e^2 e^x + C = e^{x+2} + C. On ne regroupe les exposants que si les bases sont identiques.

Exemple 3 : un changement de variable. \displaystyle\int \frac{e^x}{1 + e^x}\,dx. On pose u = 1 + e^x, du = e^x\,dx :

Pas besoin de valeur absolue, car 1 + e^x > 0.

Exemple 4 : l'exposant est une fonction. \displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx. Avec u = x^2, du = 2x\,dx, on obtient \int e^u\,du = e^{x^2} + C. Cela ne marche que grâce au 2x. Sans lui, \int e^{x^2}\,dx n'a pas de primitive élémentaire ; voir l'intégrale de e^(x²).

Exemple 5 : valeur moyenne. La moyenne de e^x sur [0, 1] vaut \frac{1}{1-0}\int_0^1 e^x\,dx = e - 1 \approx 1.718.

Erreurs fréquentes

1. Utiliser la règle de la puissance. \int e^x\,dx \ne \frac{e^{x+1}}{x+1}. La règle de la puissance concerne x^n, où la variable est la base.
2. Oublier de diviser par k. \int e^{5x}\,dx = \frac{1}{5}e^{5x} + C, et non e^{5x} + C.
3. Diviser par une expression non constante. \int e^{x^2}\,dx \ne \frac{e^{x^2}}{2x}. Dérivez cette expression : vous ne retrouverez pas e^{x^2}.
4. Oublier le + C dans une intégrale indéfinie.

Pour d'autres bases comme 2^x, voir l'intégrale de 2ˣ. La page fonction exponentielle explique d'où vient e.