Integral von eˣ: Formel, Rechenweg und Beispiele
Das Integral von eˣ ist eˣ + C. Warum eˣ seine eigene Stammfunktion ist, ein Graph der Fläche, bestimmte und uneigentliche Integrale und Rechenbeispiele.
Integrale von Exponential- und Logarithmusfunktionen Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Stammfunktion
- e^x + C
- Von 0 bis 1
- e - 1 \approx 1.718
- Von −∞ bis 0
- 1
- Mit linearer innerer Funktion
- \int e^{kx+b}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx+b} + C
- Ableitung
- \frac{d}{dx}e^x = e^x
Auf dieser Seite
Das Integral von e^x ist e^x + C. Die natürliche Exponentialfunktion ist (abgesehen von ihren Vielfachen) die einzige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist, also ist sie auch ihre eigene Stammfunktion.
Graph von eˣ mit der Fläche von 0 bis 1
Warum das Integral von eˣ gleich eˣ ist
Eine Stammfunktion von f ist jede Funktion, deren Ableitung f ist. Die Ableitung von eˣ ist e^x, also funktioniert e^x:
Das ist schon der ganze Beweis. Das + C steht da, weil jede Konstante die Ableitung null hat, also sind auch e^x + 5 und e^x - 2 Stammfunktionen. Der Leitfaden zu Stammfunktionen erklärt, warum jede Stammfunktion diese Form hat.
Schritt für Schritt: Integrale, die aus eˣ aufgebaut sind
- Konstanten herausziehen. \int 4e^x\,dx = 4e^x + C, nach der Faktorregel.
- Summen aufteilen. \int (e^x + x^2)\,dx = e^x + \frac{x^3}{3} + C.
- Verschobene Exponenten umschreiben. e^{x+2} = e^2\cdot e^x, also \int e^{x+2}\,dx = e^{x+2} + C.
- Durch die innere Steigung teilen. Ist der Exponent kx + b, lautet das Ergebnis \frac{1}{k}e^{kx+b} + C. Die Seite Integral von e²ˣ behandelt diesen Fall ausführlich.
Probe durch Ableiten
Für \frac{1}{k}e^{kx+b} liefert die Kettenregel \frac{1}{k}\cdot e^{kx+b}\cdot k = e^{kx+b}. Der Faktor \frac{1}{k} hebt genau das k aus der Kettenregel auf.
Bestimmte und uneigentliche Integrale
Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \int_a^b e^x\,dx = e^b - e^a.
| Integral | Wert |
|---|---|
| \int_0^1 e^x\,dx | e - 1 \approx 1.718 |
| \int_0^{\ln 2} e^x\,dx | 2 - 1 = 1 |
| \int_{-1}^{1} e^x\,dx | e - \frac{1}{e} \approx 2.350 |
| \int_{-\infty}^{0} e^x\,dx | 1 - \lim_{a\to-\infty}e^a = 1 |
Das letzte ist ein uneigentliches Integral. Der linke Ausläufer von e^x geht unendlich weit, wird aber so schnell klein, dass seine Gesamtfläche genau 1 ist.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: eine Summe. \displaystyle\int (3e^x - 2x)\,dx = 3e^x - x^2 + C.
Beispiel 2: e als Basis und im Exponenten. \displaystyle\int e^{x}e^{2}\,dx = e^2 e^x + C = e^{x+2} + C. Exponenten darfst du nur bei gleicher Basis zusammenfassen.
Beispiel 3: eine Substitution. \displaystyle\int \frac{e^x}{1 + e^x}\,dx. Setze u = 1 + e^x, du = e^x\,dx:
Ein Betrag ist nicht nötig, weil 1 + e^x > 0 gilt.
Beispiel 4: der Exponent ist eine Funktion. \displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx. Mit u = x^2, du = 2x\,dx, ist das \int e^u\,du = e^{x^2} + C. Das klappt nur, weil das 2x dasteht. Ohne es hat \int e^{x^2}\,dx keine elementare Lösung; siehe Integral von e^(x²).
Beispiel 5: Mittelwert. Der Mittelwert von e^x auf [0, 1] ist \frac{1}{1-0}\int_0^1 e^x\,dx = e - 1 \approx 1.718.
Häufige Fehler
- Die Potenzregel verwenden. \int e^x\,dx \ne \frac{e^{x+1}}{x+1}. Die Potenzregel gilt für x^n, wo die Variable die Basis ist.
- Das Teilen durch k vergessen. \int e^{5x}\,dx = \frac{1}{5}e^{5x} + C, nicht e^{5x} + C.
- Durch etwas Nichtkonstantes teilen. \int e^{x^2}\,dx \ne \frac{e^{x^2}}{2x}. Leite das ab, und du erhältst nicht e^{x^2} zurück.
- + C weglassen bei einem unbestimmten Integral.
Für andere Basen wie 2^x siehe Integral von 2ˣ. Die Seite zur natürlichen Exponentialfunktion erklärt, woher e kommt.
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