Integral de eˣ: fórmula, pasos y ejemplos

La integral de e^x es e^x + C. La exponencial natural es la única función (aparte de sus múltiplos) que es su propia derivada, así que también es su propia antiderivada.

Gráfica de eˣ con el área de 0 a 1

Por qué la integral de eˣ es eˣ

Una antiderivada de f es cualquier función cuya derivada sea f. La derivada de eˣ es e^x, así que e^x sirve:

Esa es toda la demostración. El + C está ahí porque cualquier constante tiene derivada cero, así que e^x + 5 y e^x - 2 también son antiderivadas. La guía de antiderivadas explica por qué toda antiderivada tiene esta forma.

Paso a paso: integrales construidas con eˣ

1. Saca las constantes. \int 4e^x\,dx = 4e^x + C, por la regla del múltiplo constante.
2. Separa las sumas. \int (e^x + x^2)\,dx = e^x + \frac{x^3}{3} + C.
3. Reescribe los exponentes desplazados. e^{x+2} = e^2\cdot e^x, así que \int e^{x+2}\,dx = e^{x+2} + C.
4. Divide entre la pendiente del interior. Si el exponente es kx + b, el resultado es \frac{1}{k}e^{kx+b} + C. La página de la integral de e²ˣ trata este caso en detalle.

Comprobación derivando

Para \frac{1}{k}e^{kx+b}, la regla de la cadena da \frac{1}{k}\cdot e^{kx+b}\cdot k = e^{kx+b}. El factor \frac{1}{k} es justo lo que cancela la k de la regla de la cadena.

Integrales definidas e impropias

Por el Teorema Fundamental del Cálculo, \int_a^b e^x\,dx = e^b - e^a.

La última es una integral impropia. La cola izquierda de e^x no termina nunca, pero decrece tan deprisa que su área total es exactamente 1.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: una suma. \displaystyle\int (3e^x - 2x)\,dx = 3e^x - x^2 + C.

Ejemplo 2: e en la base y en el exponente. \displaystyle\int e^{x}e^{2}\,dx = e^2 e^x + C = e^{x+2} + C. Junta exponentes solo cuando las bases coincidan.

Ejemplo 3: un cambio de variable. \displaystyle\int \frac{e^x}{1 + e^x}\,dx. Sea u = 1 + e^x, du = e^x\,dx:

No hace falta valor absoluto, ya que 1 + e^x > 0.

Ejemplo 4: el exponente es una función. \displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx. Con u = x^2, du = 2x\,dx, queda \int e^u\,du = e^{x^2} + C. Esto solo funciona porque está el 2x. Sin él, \int e^{x^2}\,dx no tiene resultado elemental; consulta la integral de e^(x²).

Ejemplo 5: valor medio. El valor medio de e^x en [0, 1] es \frac{1}{1-0}\int_0^1 e^x\,dx = e - 1 \approx 1.718.

Errores comunes

1. Usar la regla de la potencia. \int e^x\,dx \ne \frac{e^{x+1}}{x+1}. La regla de la potencia es para x^n, donde la variable está en la base.
2. Olvidar dividir entre k. \int e^{5x}\,dx = \frac{1}{5}e^{5x} + C, no e^{5x} + C.
3. Dividir entre algo que no es constante. \int e^{x^2}\,dx \ne \frac{e^{x^2}}{2x}. Deriva eso y no recuperarás e^{x^2}.
4. Olvidar el + C en una integral indefinida.

Para otras bases como 2^x, consulta la integral de 2ˣ. La página de la función exponencial natural explica de dónde sale e.