Potencias, raíces y polinomios

Derivada de x \frac{d}{dx}\,x = 1 La derivada de x es 1. Demostración con la definición de límite y la regla de la potencia, más las derivadas de 5x, ax + b y de x respecto a otras variables. Derivada de x² \frac{d}{dx}\,x^2 = 2x La derivada de x² es 2x. Demostración con la definición de límite, la regla de la cadena para u², una gráfica, rectas tangentes y ejemplos como (3x + 1)². Derivada de √x \frac{d}{dx}\,\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} La derivada de √x es 1/(2√x). Demostración con la regla de la potencia y con límites, regla de la cadena para √u, por qué falla en x = 0 y ejemplos. Derivada de ∛x \frac{d}{dx}\,\sqrt[3]{x} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} La derivada de la raíz cúbica de x es 1/(3∛(x²)). Demostración con la regla de la potencia y con límites, la tangente vertical en 0 y la regla de la cadena. Derivada de 1/x \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} La derivada de 1/x es -1/x². Demostración por la definición de límite, regla de la potencia con x⁻¹, regla de la cadena para 1/u y ejemplos como 1/(2x + 5). Derivada de 1/x² \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x^2} = -\frac{2}{x^3} La derivada de 1/x² es -2/x³. Demostración con la regla de la potencia y del cociente, regla de la cadena para 1/u², gráfica y ejemplos como 1/(3x - 2)². Derivada de |x| \frac{d}{dx}\,\lvert x\rvert = \frac{x}{\lvert x\rvert} La derivada de |x| es x/|x|: 1 para x > 0, -1 para x < 0 y no existe en 0. Demostración, el pico en 0 y la regla de la cadena para |u|. Derivada de una constante \frac{d}{dx}\,c = 0 La derivada de una constante es 0. Demostración con la definición de límite y casos engañosos como π², e³, ln 5 o constantes que multiplican.