TU Dresden Analysis Weiterführende Konzepte (Math-Ba-AN20)

Analysis, Weiterführende Konzepte (Math-Ba-AN20) ist an der TU Dresden das zweite Analysis-Modul im Bachelor Mathematik und Wirtschaftsmathematik. Es läuft jedes Sommersemester mit vier Stunden Vorlesung und zwei Stunden Übung pro Woche und bringt 9 Leistungspunkte. Hier kommt der klassische Rechenstoff der Analysis: Ableitung, Taylorentwicklung, Extremwerte und Integrale, und zwar gleich in einer und in mehreren Veränderlichen. Diese Lernhilfe ordnet die Themen den passenden Übungen auf PracticeCalculus zu.

Was Analysis, Weiterführende Konzepte abdeckt

Die Modulbeschreibung in der Studienordnung für den Bachelorstudiengang Mathematik (Änderungssatzung vom 19. März 2019) nennt als Inhalte:

• Differentialrechnung mit dem Satz von Taylor
• Satz über implizite Funktionen
• Extremwertaufgaben ohne und mit Nebenbedingungen
• Integralrechnung mit Riemann-Integral
• Satz von Fubini
• Substitutionsregel

Als Qualifikationsziel nennt das Modul, dass du den auf Definitionen und Beweisen beruhenden Aufbau weiterführender Aussagen der Analysis verstehst, wichtige Beweisstrategien beherrschst und vertiefte Fähigkeiten zur Lösung mathematischer Fragestellungen mit Mitteln der Analysis besitzt. Vorausgesetzt werden die Kompetenzen aus Math-Ba-AN10 und aus Math-Ba-LA10 Lineare Algebra. Der Satz über implizite Funktionen und der Satz von Fubini zeigen, dass das Modul nicht bei einer Veränderlichen stehen bleibt. Wie viel Zeit auf eine und auf mehrere Variablen entfällt, legt die Modulbeschreibung nicht fest.

Themenübersicht AN20

Den Satz über implizite Funktionen selbst, also die Existenz einer lokal auflösbaren Funktion samt Beweis, behandelt PracticeCalculus nicht. Unsere Lektion zum impliziten Differenzieren übt nur die Rechnung, die der Satz rechtfertigt. Auch die Riemann-Integrierbarkeit im strengen Sinn über Ober- und Untersummen lernst du in der Vorlesung.

Beispielaufgaben auf AN20-Niveau

1. Taylorpolynom. Das Taylorpolynom zweiten Grades von f(x) = \ln(1+x) um 0 ist

2. Lagrange-Bedingung. Gesucht sind die Extrema von f(x,y) = x + y auf dem Kreis x^2 + y^2 = 2. Aus (1, 1) = \lambda (2x, 2y) folgt x = y, also (1,1) mit f = 2 als Maximum und (-1,-1) mit f = -2 als Minimum.

3. Fubini.

So läuft AN20 gut

• Rechenregeln vor Semesterbeginn wiederholen. AN10 enthält laut Modulbeschreibung keine Ableitungen. Wer die Schulregeln noch einmal mit unseren Ableitungsregeln auffrischt, startet entspannter.
• Prüfungsvorleistung früh sichern. Ohne die Hälfte der Punkte bei den modulbegleitenden Aufgaben gibt es keine Klausur.
• Mehrere Variablen visualisieren. Skizzen von Höhenlinien und Integrationsbereichen helfen bei Extremwerten und bei Fubini.
• Gezielt üben. Die Übungsaufgaben zu Lagrange-Multiplikatoren und zu Doppelintegralen sind gute Klausurvorbereitung.

Studierst du Informatik, findest du einen Teil dieses Stoffs im Modul Lineare Algebra und Analysis (INF-25-Ba-Ma1).

Tipp: Bei Fubini lohnt es sich, vor dem Rechnen zu prüfen, welche Integrationsreihenfolge einfacher ist. Oft wird ein scheinbar unlösbares Integral nach dem Vertauschen zur Routine.