MAA102 Introduction to Analysis Polytechnique : guide et exercices

MAA102 Introduction to Analysis est le cours d'analyse du premier semestre du Bachelor of Science de l'École polytechnique. Il pose les bases rigoureuses de l'analyse réelle : nombres réels, suites, fonctions d'une variable, dérivées et séries. Le cours est donné en anglais, mais son contenu correspond à une première UE d'analyse de licence en France. Ce guide relie chaque notion du programme officiel à des exercices interactifs avec correction immédiate.

Ce que couvre MAA102

D'après le catalogue officiel Synapses de l'X (année 2024-2025), MAA102 vaut 5 ECTS et compte 49 heures en présentiel réparties sur 14 créneaux, plus environ 100 heures de travail personnel. Les prérequis sont le raisonnement par récurrence, la manipulation des inégalités et les notions de base sur les suites. Le programme suit cet ordre :

• nombres réels, borne supérieure et borne inférieure ;
• suites réelles et complexes : limites, méthodes de comparaison, limites infinies, sous-suites ;
• fonctions réelles d'une variable réelle : limites, continuité, propriétés globales des fonctions continues ;
• dérivées, variations, fonctions convexes et fonctions usuelles ;
• théorème de Taylor-Lagrange et applications ;
• séries réelles et complexes : convergence, divergence, séries à termes positifs.

Par rapport à une séquence nord-américaine, MAA102 recouvre l'essentiel de Calcul 1 (sans l'intégrale, traitée dans MAA105) et l'unité sur les suites et séries de Calcul 2, avec en plus les démonstrations d'un cours de real analysis.

Plan des notions de MAA102

MAA102 et MAA105 en première année

Pour la suite, voir le guide de MAA105.

Exemples d'exercices au niveau de MAA102

1. Limite d'une suite. Pour u_n = \frac{3n^2 + 1}{n^2 + 5n}, on divise par n^2 :

2. Inégalité par convexité. La fonction \exp est convexe, donc elle est au-dessus de sa tangente en 0 : e^x \geq 1 + x pour tout réel x.

3. Convergence d'une série. Pour \sum \frac{n}{2^n}, le critère de d'Alembert donne \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n+1}{2n} \to \frac{1}{2} < 1, donc la série converge.

Comment réussir MAA102

• Apprenez les définitions par cœur, en anglais. Les examens demandent souvent d'écrire la définition d'une limite avec \varepsilon avant de l'utiliser.
• Travaillez le calcul en parallèle des preuves. Les règles de dérivation et les limites usuelles doivent devenir automatiques. Nos exercices servent à cela.
• Maîtrisez les inégalités. Majorer, minorer et encadrer sont les gestes de base de tout le cours, des suites jusqu'aux séries.
• Évitez les erreurs classiques, comme conclure qu'une série converge parce que son terme général tend vers 0. Voir les erreurs fréquentes en calcul.

Astuce : devant une série à termes positifs, regardez d'abord si le terme général tend vers 0, puis comparez à une série géométrique ou de Riemann. La leçon Choisir un critère entraîne ce réflexe.