ETH Analysis I 401-1261-07L Mathematik und Physik: Lernhilfe

Analysis I: eine Variable (401-1261-07L) ist die Analysis-Grundvorlesung für Studierende der Mathematik und Physik an der ETH Zürich. Mit sechs Stunden Vorlesung und drei Stunden Übung pro Woche ist sie eine der umfangreichsten Lehrveranstaltungen des ersten Semesters. Diese Lernhilfe ordnet die Themen den passenden Übungen zu. Die Beweise lernst du in der Vorlesung, die Rechentechniken dahinter kannst du hier mit sofortiger Rückmeldung trainieren.

Was Analysis I: eine Variable abdeckt

Laut Vorlesungsverzeichnis ist die Vorlesung eine Einführung in die Differential- und Integralrechnung in einer reellen Veränderlichen. Auf dem Programm stehen:

• Grundbegriffe des mathematischen Denkens
• Zahlen, Folgen und Reihen
• topologische Grundbegriffe
• stetige und differenzierbare Funktionen
• gewöhnliche Differentialgleichungen
• Riemannsche Integration

Als Lernziel nennt die ETH den mathematisch exakten Umgang mit diesen Grundbegriffen. Inhaltlich deckt das einen Calculus 1 und die Reihen aus Calculus 2 ab. Der Unterschied liegt im Anspruch: Jeder Satz wird bewiesen, und Begriffe wie Konvergenz oder Stetigkeit werden mit Epsilon und Delta definiert.

Themenübersicht Analysis I (D-MATH und D-PHYS)

Die Analysis-Versionen an der ETH

Je nach Studienreglement wird Analysis I zusammen mit Analysis II: mehrere Variablen (401-1262-07L) als Jahreskurs mit 20 KP oder allein als Semesterkurs mit 10 KP geprüft. Welche Variante für dich gilt, steht im Vorlesungsverzeichnis bei deinem Studiengang.

Beispielaufgaben auf dem Niveau von Analysis I

1. Grenzwert mit Einschnürung. Wegen -1 \le \sin n \le 1 gilt

2. Ableitung über die Definition. Für f(x) = x^2:

3. Differentialgleichung durch Trennung der Variablen. Aus y' = x y mit y(0) = 1 folgt \frac{dy}{y} = x\,dx, also \ln|y| = \frac{x^2}{2} + C und

So läuft Analysis I gut

• Beweise und Rechnen trennen. Die Rechentechniken (Grenzwerte, Ableitungsregeln, Integrale) solltest du so sicher können, dass sie beim Beweisen nicht mehr bremsen. Kurze Einheiten auf PracticeCalculus helfen dabei.
• Beispiele zu jedem Satz suchen. Rechne zu jedem Satz ein Beispiel, bei dem er greift, und eines, bei dem eine Voraussetzung fehlt. So verstehst du, wozu jede Annahme da ist.
• Reihen früh ernst nehmen. Die Konvergenzkriterien bilden die Basis für Potenzreihen, Taylor und später die Funktionalanalysis.
• Eine Formelübersicht pflegen. Unser Formelblatt ist ein guter Startpunkt für die eigene Zusammenfassung.

Tipp: Lies zu den wichtigsten Sätzen wie dem Mittelwertsatz zuerst die anschauliche Idee und dann den Beweis. Der Beweis wird viel leichter, wenn du weisst, was das Bild dahinter ist.