Matemática II UCV (8207): temario, guía y práctica

Matemática II (código 8207) es la segunda asignatura de la serie de cálculo de la Escuela de Matemática de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela. Según su programa oficial, es obligatoria, tiene 6 unidades de crédito, 8 horas semanales (4 teóricas y 4 prácticas) y su requisito es 8206 Matemática I. Sus objetivos generales son resolver problemas de gráficos, máximos, mínimos y optimización con la derivada, y calcular áreas y volúmenes con las técnicas de integración. En esta guía relacionamos cada tema con lecciones de práctica.

Qué cubre Matemática II

El contenido programático tiene ocho temas:

1. Cálculo diferencial en una variable (20 horas): teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy, crecimiento, criterios de la primera y segunda derivada, convexidad, L'Hôpital, asíntotas y problemas de máximos y mínimos.
2. Teorema de Taylor y aproximaciones (10 horas): fórmula de Taylor con resto, cálculo aproximado, intervalos encajados y método de Newton.
3. La integral indefinida (24 horas): cambio de variables, integración por partes, integrales trigonométricas, fórmulas de reducción, funciones racionales e irracionales.
4. Integral definida (10 horas): área bajo una curva, integral de Riemann, Teorema Fundamental del Cálculo, regla de Barrow y teoremas del valor medio para integrales.
5. Cálculo aproximado de integrales (10 horas): rectángulos, regla de los trapecios y regla de Simpson, con estimación del error.
6. Aplicaciones del cálculo integral (16 horas): áreas, longitud de arco, volúmenes por secciones y de revolución, áreas de superficies de revolución e integrales impropias en intervalos infinitos.
7. Ecuaciones diferenciales (14 horas): variables separables, ecuaciones homogéneas, lineales de primer orden y de Bernoulli, con aplicaciones como enfriamiento de Newton y crecimiento logístico.
8. Sucesiones numéricas (8 horas): límite de una sucesión y sus propiedades.

En términos de un currículo estándar, Matemática II completa el Cálculo 1 (aplicaciones de la derivada e integral) y cubre buena parte de un Cálculo 2 (técnicas de integración, aplicaciones y ecuaciones diferenciales).

Mapa de temas de Matemática II

La serie de Matemática en la Facultad de Ciencias

Si necesitas repasar derivadas, vuelve a la guía de Matemática I. Después sigue con la guía de Matemática III.

Ejemplos de problemas al nivel de Matemática II

1. Integración por partes.

2. Volumen de revolución. Al girar y = \sqrt{x}, 0 \le x \le 4, alrededor del eje x:

3. Ecuación separable. Si y' = ky, separando variables se obtiene \ln|y| = kx + C, es decir y = y_0 e^{kx}, el modelo de crecimiento de bacterias y de desintegración radiactiva que menciona el programa.

Cómo te puede ir bien en Matemática II

• Dedica tiempo al bloque de integración. Son 24 horas solo de integral indefinida. Lo que más cuesta es elegir el método, y eso solo se aprende haciendo muchos ejercicios: prueba los problemas de integración por partes y de sustitución.
• Haz un dibujo en cada aplicación. En áreas y volúmenes, el error suele estar en el planteamiento, no en el cálculo.
• Practica Taylor con funciones concretas. Calcula a mano los polinomios de e^x, \sin x y \ln(1 + x) hasta que salgan de memoria.
• Ten el formulario a mano. El formulario de cálculo reúne derivadas, integrales y desarrollos notables.
• Practica a diario. Diez minutos de ejercicios de práctica cada día rinden más que una noche antes de la evaluación.

Consejo: cuando no sepas qué método de integración usar, deriva tu candidato a primitiva. Si la derivada coincide con el integrando, la respuesta es correcta.