Die Ableitung jeder wichtigen Funktion

Ableitung von x \frac{d}{dx}\,x = 1 Die Ableitung von x ist 1. Mit Begründung über den Differenzenquotienten und die Potenzregel sowie den Ableitungen von 5x, ax + b und x nach anderen Variablen. Ableitung von x² \frac{d}{dx}\,x^2 = 2x Die Ableitung von x² ist 2x. Mit Beweis über den Differenzenquotienten, der Kettenregel für u², einem Graphen, Tangenten und Rechenbeispielen wie (3x + 1)². Ableitung von √x \frac{d}{dx}\,\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} Die Ableitung von √x ist 1/(2√x). Mit Beweisen über Potenzregel und Grenzwert, der Kettenregel für √u, dem Problem bei x = 0 und Beispielen wie √(x² + 1). Ableitung von ∛x \frac{d}{dx}\,\sqrt[3]{x} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} Die Ableitung der dritten Wurzel von x ist 1/(3∛(x²)). Mit Beweisen über Potenzregel und Grenzwert, der senkrechten Tangente bei 0 und der Kettenregel. Ableitung von 1/x \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} Die Ableitung von 1/x ist -1/x². Mit Beweis über den Differenzenquotienten, der Potenzregel für x⁻¹, der Kettenregel für 1/u und Beispielen wie 1/(2x + 5). Ableitung von 1/x² \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x^2} = -\frac{2}{x^3} Die Ableitung von 1/x² ist -2/x³. Mit Beweisen über Potenz- und Quotientenregel, der Kettenregel für 1/u², einem Graphen und Beispielen wie 1/(3x - 2)². Ableitung von |x| \frac{d}{dx}\,\lvert x\rvert = \frac{x}{\lvert x\rvert} Die Ableitung von |x| ist x/|x|: 1 für x > 0, -1 für x < 0 und nicht definiert bei 0. Mit Beweis, dem Knick bei 0 und der Kettenregel für |u|. Ableitung einer Konstanten \frac{d}{dx}\,c = 0 Die Ableitung einer Konstanten ist 0. Mit Begründung über den Differenzenquotienten und kniffligen Fällen wie π², e³, ln 5 und Konstanten als Faktor.

Ableitung von sin x \frac{d}{dx}\,\sin x = \cos x Die Ableitung von sin x ist cos x. Mit Beweis über den Grenzwert, der Kettenregel für sin(u), einem Graphen und Rechenbeispielen wie sin(3x) und x sin x. Ableitung von cos x \frac{d}{dx}\,\cos x = -\sin x Die Ableitung von cos x ist -sin x. Mit Beweis über den Grenzwert, einem schnellen Beweis über sin x, der Kettenregel für cos(u) und Beispielen wie cos(5x). Ableitung von tan x \frac{d}{dx}\,\tan x = \sec^2 x Die Ableitung von tan x ist sec²x = 1/cos²x. Mit Beweis über die Quotientenregel, der Form 1 + tan²x, der Kettenregel für tan(u) und Beispielen wie tan(4x). Ableitung von sec x \frac{d}{dx}\,\sec x = \sec x\tan x Die Ableitung von sec x ist sec x tan x. Mit Beweis über 1/cos x, der Kettenregel für sec(u), einem Graphen und Rechenbeispielen wie sec(2x) und x sec x. Ableitung von csc x \frac{d}{dx}\,\csc x = -\csc x\cot x Die Ableitung von csc x ist -csc x cot x. Mit Beweis über 1/sin x, der Kettenregel für csc(u), einem Graphen und Rechenbeispielen wie csc(3x). Ableitung von cot x \frac{d}{dx}\,\cot x = -\csc^2 x Die Ableitung von cot x ist -csc²x. Mit Beweis über die Quotientenregel, der Form -(1 + cot²x), der Kettenregel für cot(u) und Beispielen wie cot(2x). Ableitung von sec²x \frac{d}{dx}\,\sec^2 x = 2\sec^2 x\tan x Die Ableitung von sec²x ist 2sec²x tan x. Mit zwei Beweisen, einem über die Kettenregel und einem über 1 + tan²x, sowie Beispielen wie sec²(3x). Ableitung von sin²x \frac{d}{dx}\,\sin^2 x = 2\sin x\cos x = \sin 2x Die Ableitung von sin²x ist 2 sin x cos x, also sin 2x. Mit Beweis über die Kettenregel, einer Probe mit der Formel für den doppelten Winkel und Beispielen. Ableitung von cos²x \frac{d}{dx}\,\cos^2 x = -2\sin x\cos x = -\sin 2x Die Ableitung von cos²x ist -2 sin x cos x, also -sin 2x. Mit Beweis über die Kettenregel, einer Probe mit Identitäten und Beispielen wie cos²(4x). Ableitung von sin 2x \frac{d}{dx}\,\sin 2x = 2\cos 2x Die Ableitung von sin 2x ist 2cos 2x. Mit Beweis über die Kettenregel, einer Probe mit 2 sin x cos x, der allgemeinen Regel für sin(ax) und Rechenbeispielen. Ableitung von sin(x²) \frac{d}{dx}\,\sin(x^2) = 2x\cos(x^2) Die Ableitung von sin(x²) ist 2x cos(x²). Mit der Kettenregel Schritt für Schritt, dem Unterschied zu sin²x, der zweiten Ableitung und Rechenbeispielen.

Ableitung von arcsin x \frac{d}{dx}\,\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} Die Ableitung von arcsin x ist 1/√(1 − x²). Mit Beweis aus sin y = x, der Kettenregel für arcsin(u), einem Graphen und ausführlichen Rechenbeispielen. Ableitung von arccos x \frac{d}{dx}\,\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} Die Ableitung von arccos x ist −1/√(1 − x²). Mit Beweis, der Erklärung, warum sie das Negative der arcsin-Ableitung ist, Kettenregel-Beispielen und Graph. Ableitung von arctan x \frac{d}{dx}\,\arctan x = \frac{1}{1 + x^2} Die Ableitung von arctan x ist 1/(1 + x²). Mit Beweis aus tan y = x, Beispielen zur Kettenregel wie arctan(2x) und arctan(x²) und einem Graphen. Ableitung von arcsec x \frac{d}{dx}\,\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}} Die Ableitung von arcsec x ist 1/(|x|√(x² − 1)). Woher der Betrag kommt, ein Beweis über arccos(1/x) und Beispiele zur Kettenregel. Ableitung von arccot x \frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2} Die Ableitung von arccot x ist −1/(1 + x²). Mit Beweis aus cot y = x, dem Zusammenhang mit arctan, Beispielen zur Kettenregel und einem Graphen.

Ableitung von ln x \frac{d}{dx}\,\ln x = \frac{1}{x} Die Ableitung von ln x ist 1/x. Mit Beweis aus eʸ = x, der Kettenregel für ln(u), einem Graphen und Rechenbeispielen wie ln(2x) und ln(x²+1). Ableitung von e^x \frac{d}{dx}\,e^x = e^x Die Ableitung von eˣ ist eˣ. Mit Begründung über den Grenzwert, der Kettenregel für e^u, einem Graphen und Rechenbeispielen wie e^(3x) und x²eˣ. Ableitung von e^(2x) \frac{d}{dx}\,e^{2x} = 2e^{2x} Die Ableitung von e^(2x) ist 2e^(2x). Mit den Schritten der Kettenregel, einem zweiten Beweis über (eˣ)², höheren Ableitungen, Graph und Rechenbeispielen. Ableitung von e^(−x) \frac{d}{dx}\,e^{-x} = -e^{-x} Die Ableitung von e^(−x) ist −e^(−x). Mit den Schritten der Kettenregel, einer Probe mit der Quotientenregel, höheren Ableitungen und Beispielen wie xe^(−x). Ableitung von e^(x²) \frac{d}{dx}\,e^{x^2} = 2x\,e^{x^2} Die Ableitung von e^(x²) ist 2x·e^(x²). Mit den Schritten der Kettenregel, der zweiten Ableitung, dem Unterschied zu (eˣ)² und Beispielen wie e^(−x²). Ableitung von 2^x \frac{d}{dx}\,2^x = 2^x\ln 2 Die Ableitung von 2ˣ ist 2ˣ ln 2, die von aˣ ist aˣ ln a. Mit Beweis über die Umformung aˣ = e^(x ln a), Beispielen zur Kettenregel und einem Graphen. Ableitung von log x \frac{d}{dx}\,\log_{10} x = \frac{1}{x\ln 10} Die Ableitung von log₁₀ x ist 1/(x ln 10), die von log_b x ist 1/(x ln b). Mit Beweis über den Basiswechsel, Beispielen zur Kettenregel und einem Graphen. Ableitung von ln(2x) \frac{d}{dx}\,\ln(2x) = \frac{1}{x} Die Ableitung von ln(2x) ist 1/x, genau wie bei ln x. Mit zwei Beweisen, einem Graphen, der die gleichen Steigungen zeigt, und dem Unterschied zu ln(2x + 1). Ableitung von ln(x²) \frac{d}{dx}\,\ln(x^2) = \frac{2}{x} Die Ableitung von ln(x²) ist 2/x, die Ableitung von (ln x)² ist 2 ln x / x. Mit beiden Beweisen, einem Graphen und Tipps, wie du sie auseinanderhältst. Ableitung von x ln x \frac{d}{dx}\,x\ln x = \ln x + 1 Die Ableitung von x ln x ist ln x + 1. Mit der Produktregel Schritt für Schritt, dem Minimum bei x = 1/e, der zweiten Ableitung, Graph und Beispielen. Ableitung von x e^x \frac{d}{dx}\,xe^x = e^x(x + 1) Die Ableitung von xeˣ ist eˣ(x + 1). Mit den Schritten der Produktregel, dem Minimum bei x = −1, dem Muster der n-ten Ableitung, Graph und Rechenbeispielen. Ableitung von x^x \frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1) Die Ableitung von xˣ ist xˣ(ln x + 1). Lerne zwei Methoden, logarithmisches Differenzieren und die Umformung zu e^(x ln x), dazu Graph und Beispiele. Ableitung von ln(cos x) \frac{d}{dx}\,\ln(\cos x) = -\tan x Die Ableitung von ln(cos x) ist −tan x. Mit den Schritten der Kettenregel, dem Zusammenhang mit dem Integral von tan x, Graph sowie ln(sin x) und ln(sec x).

Ableitung von sinh x \frac{d}{dx}\,\sinh x = \cosh x Die Ableitung von sinh x ist cosh x. Mit Beweis über die Definition mit Exponentialfunktionen, warum kein Minuszeichen auftaucht, Kettenregel und Graph. Ableitung von cosh x \frac{d}{dx}\,\cosh x = \sinh x Die Ableitung von cosh x ist sinh x, ohne Minuszeichen. Mit Beweis über Exponentialfunktionen, der Kettenlinie, Beispielen zur Kettenregel und einem Graphen. Ableitung von tanh x \frac{d}{dx}\,\tanh x = \operatorname{sech}^2 x Die Ableitung von tanh x ist sech² x, also 1 − tanh² x. Mit Beweis über die Quotientenregel, Beispielen zur Kettenregel, Graph und der Ableitung von artanh.